Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos,
).
Passo 1
A função é f(x)=x para 0<x<a e zero caso contrário. O conteúdo é transformada de Fourier integral: queremos achar F(ω)=∫_{−∞}{∞}f(x)e{−iωx}dx e depois escrever f(x) como integral de volta. Vamos usar a definição e depois integrar.
Passo 2
A definição da transformada e da inversa é
Como f(x)≠0 só em [0,a], temos
Passo 3
Para calcular
usamos integração por partes. Escolhemos
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Passo 4
A integração por partes dá
Agora avaliamos de 0 a a:
Passo 5
Substituindo os limites, obtemos
Podemos reescrever
, ficando
Então a representação integral de Fourier é