Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)= x & se 0á

Passo 1

A função é f(x)=x para 0<x<a e zero caso contrário. O conteúdo é transformada de Fourier integral: queremos achar F(ω)=∫_{−∞}{∞}f(x)e{−iωx}dx e depois escrever f(x) como integral de volta. Vamos usar a definição e depois integrar.

Passo 2

A definição da transformada e da inversa é
F(ω)=integral-infty^inftyf(x)e^-iωx,dx,
f(x)=12piintegral-infty^inftyF(ω)e^iωx,dω
Como f(x)≠0 só em [0,a], temos
F(ω)=integral0^ax,e^-iωx,dx

Passo 3

Para calcular integral0^ax e^-iωxdx usamos integração por partes. Escolhemos
u=x, dv=e^-iωxdx
logo
du=dx, v=integral e^-iωxdx=-1iωe^-iωx

Passo 4

A integração por partes dá
integral x e^-iωxdx=u v-integral v,du=-xiωe^-iωx+1iωintegral e^-iωxdx=-xiωe^-iωx+1ω^2e^-iωx
Agora avaliamos de 0 a a:

Passo 5

Substituindo os limites, obtemos
F(ω)=l[-xiωe^-iωx+1ω^2e^-iωxr]0^a=-aiωe^-iωa+e^-iωa-1ω^2
Podemos reescrever -1/(i)=i, ficando
F(ω)=iaωe^-iωa+e^-iωa-1ω^2
Então a representação integral de Fourier é
f(x)=12piintegral-infty^inftyl(iaωe^-iωa+e^-iωa-1ω^2r)e^iωxdω

Resposta

F(ω)=integral-infty^inftyf(x)e^-iωxdx=-aiωe^-iωa+e^-iωa-1ω^2=iaωe^-iωa+e^-iωa-1ω^2, e a reconstrução é f(x)=12piintegral-infty^inftyF(ω)e^iωxdω com esse F(ω).

Exercícios relacionados