Resolva:
y^prime prime-2 y^prime-1=x^2+e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a seguinte EDO de segunda ordem não homogênea, que cai no conteúdo de equações lineares com coeficientes constantes: precisamos encontrar a solução geral de
y''-2y'-y = x^2 + e^2x

Passo 2

Primeiro vamos achar a solução complementar (homogênea) associada à equação
y''-2y'-y = 0 Nesta etapa resolvemos a equação característica
r^2 - 2r - 1 = 0 e depois usamos as raízes para escrever yh.

Passo 3

A equação característica
r^2 - 2r - 1 = 0
possui raízes
$$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}.
r = 2 pm raiz4 + 42 = 1 pm raiz2 çãêéy_h = C_1 e^{(1+\sqrt{2})x} + C_2 e^{(1-\sqrt{2})x}.$$

Passo 4

Agora buscamos uma particular para o termo polinomial x^2. Fazemos o palpite
yp1 = Ax^2 + Bx + C
Calculamos
y'p1 = 2Ax + B,
y''p1 = 2A,
e substituímos em y'' - 2y' - y = x^2:
2A - 2(2Ax + B) - (Ax^2 + Bx + C) = x^2
Isso dá
-Ax^2 +(-4A - B)x + (2A - 2B - C) = x^2
Igualando coeficientes:
-A = 1, -4A - B = 0, 2A - 2B - C = 0
Resolvendo vem
A = -1, ; B = 4, ; C = -10
Portanto
yp1 = -x^2 + 4x - 10

Passo 5

Agora uma particular para o termo e^2x. Fazemos o palpite
yp2 = D e^2x
Então
y'p2 = 2D e^2x, y''p2 = 4D e^2x,
e na equação
y'' - 2y' - y = e^2x
vem
4D e^2x - 2(2D e^2x) - D e^2x = -D e^2x = e^2x
Logo -D = 1 e D = -1, ou seja
yp2 = -e^2x

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com as particulares:
y(x) = yh + yp1 + yp2 = C1 e^(1+raiz2)x + C2 e^(1-raiz2)x - x^2 + 4x - 10 - e^2x

Resposta

y(x) = C1 e^(1+raiz2)x + C2 e^(1-raiz2)x - x^2 + 4x - 10 - e^2x

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