Usando a representação integral de Fourier, prove que as seguintes integrais impróprias têm os valores especificados abaixo.
integral0^infty cos x omega1+omega^2 d omega=pi2 e^-x se x>0.

Passo 1

Neste exercício, queremos calcular integral0^infty cos(xomega)1+omega^2,domega para x>0, usando representação integral de Fourier. Vamos usar a transformada de Fourier da função f(t)=e^-a|t| e sua fórmula de inversão.

Passo 2

Calcular a transformada de Fourier de f(t)=e^-a|t| definindo
F(omega)=integral-infty^inftye^-a|t|e^-iomega t,dt
Dividindo em dois integrais sobre [0,infty) e integral0^infty e^-ate^-iomega t,dt=1a+iomega, integral-infty^0 e^ate^-iomega t,dt=1a-iomega,, obtemos
F(omega)=1a+iomega+1a-iomega=2aa^2+omega^2
somando-os:

Passo 3

Aplicar a fórmula de inversão da transformada de Fourier:
f(x)=12piintegral-infty^inftyF(omega)e^iomega x,domega
Como F(omega) é função par, isso vira
$$f(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^\infty F(\omega)\cos(\omega x),d\omega
=\frac{1}{\pi}\int_0\infty\frac{2a}{a2+\omega^2}\cos(\omega x),d\omega. f(x)=1piintegral0^infty F(omega)cos(omega x),domega =1piintegral0^infty2aa^2+omega^2cos(omega x),domega\int_0^\infty\frac{\cos(\omega x)}{a2+\omega2},d\omega=\frac{\pi}{2a}e^{-a|x|}.$$

Passo 4

Colocando a=1 e lembrando que x>0, obtemos
integral0^inftycos(xomega)1+omega^2,domega=pi2e^-x

Resposta

pi2e^-x

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