Usando a representação integral de Fourier, prove que as seguintes integrais impróprias têm os valores especificados abaixo.
se
.
Passo 1
Neste exercício, queremos calcular
para
, usando representação integral de Fourier. Vamos usar a transformada de Fourier da função
e sua fórmula de inversão.
Passo 2
Calcular a transformada de Fourier de
definindo
Dividindo em dois integrais sobre
somando-os:
Passo 3
Aplicar a fórmula de inversão da transformada de Fourier:
Como
$$f(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^\infty F(\omega)\cos(\omega x),d\omega
=\frac{1}{\pi}\int_0\infty\frac{2a}{a2+\omega^2}\cos(\omega x),d\omega.
\int_0^\infty\frac{\cos(\omega x)}{a2+\omega2},d\omega=\frac{\pi}{2a}e^{-a|x|}.$$
Passo 4
Colocando
e lembrando que
, obtemos