Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)= x & se -1á

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma função definida por partes: $ f(x) = x $ quando $ -1 < x < 1 $ e $ f(x) = 0 $ caso contrário. O objetivo é encontrar a representação integral de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Fourier e calcular a integral para a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Fourier. Ela serve para transformar uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências. A fórmula geral da Transformada de Fourier é:
F(k) = integral-infty^infty f(x) e^-ikx , dx
No nosso caso, como a função $ f(x) $ é zero fora do intervalo $ -1 < x < 1 $, a integral fica mais simples:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. Para isso, vamos integrar $ x e^{-ikx} $ em relação a $ x $ de $ -1 $ a $ 1 $. A gente pode resolver essa integral por partes.
Vamos escolher:
  • $ u = x $ x e^-ikx $ du = dx $
  • $ dv = e^{-ikx} dx $ x $ v = \frac{e^{-ikx}}{-ik} $
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $, temos:
-1
Vamos calcular cada termo:
  1. Primeiro termo:
1
Simplificando:
u = x
  1. Segundo termo:
Rightarrow
A integral de $ e^{-ikx} $ é:
du = dx
Então:
dv = e^-ikx dx

Passo 4

Agora, juntando os dois termos que calculamos:
F(k) = 2 sin(k)k + 2 sin(k)k^2
Podemos fatorar $ 2 \sin(k) $:
2 sin(k)

Resposta

A representação integral de Fourier da função $ f(x) $ é:
f(x)

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