Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos,
).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma função definida por partes: $ f(x) = x $ quando $ -1 < x < 1 $ e $ f(x) = 0 $ caso contrário. O objetivo é encontrar a representação integral de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Fourier e calcular a integral para a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Fourier. Ela serve para transformar uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências. A fórmula geral da Transformada de Fourier é:
No nosso caso, como a função $ f(x) $ é zero fora do intervalo $ -1 < x < 1 $, a integral fica mais simples:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa integral. Para isso, vamos integrar $ x e^{-ikx} $ em relação a $ x $ de $ -1 $ a $ 1 $. A gente pode resolver essa integral por partes.
Vamos escolher:
- $ u = x $
$ du = dx $ - $ dv = e^{-ikx} dx $
$ v = \frac{e^{-ikx}}{-ik} $
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $, temos:
Vamos calcular cada termo:
- Primeiro termo:
Simplificando:
- Segundo termo:
A integral de $ e^{-ikx} $ é:
Então:
Passo 4
Agora, juntando os dois termos que calculamos:
Podemos fatorar $ 2 \sin(k) $:
Resposta
A representação integral de Fourier da função $ f(x) $ é: