Calcule as integrais indefinidas:
t) integral x^3raiz4 x^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^3raiz4x^2+1,dx. O conteúdo principal aqui é usar substituição para simplificar a raiz de uma expressão quadrática e integrar.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u = 4x^2+1. Então temos
du = 8x,dx Longrightarrow x,dx = du8
Como no integrando aparece x^3dx = x^2cdot x,dx, escrevemos também x^2 = u-14. Portanto:
x^3,dx = x^2cdot x,dx = u-14cdot du8 = u-132,du

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral x^3raiz4x^2+1,dx = integral u-132raizu,du = 132integral (u-1)u^-tfrac12,du = 132integral l(u^tfrac12-u^-tfrac12r)du
Agora integramos termo a termo:
integral u^tfrac12,du = 23u^tfrac32, integral u^-tfrac12,du = 2u^tfrac12
Logo,
132l(23u^tfrac32-2u^tfrac12r) + C = 148u^tfrac32-116u^tfrac12+C

Passo 4

Voltando à variável x, onde u=4x^2+1, a antiderivada fica
148(4x^2+1)^tfrac32-116(4x^2+1)^tfrac12+C

Resposta

148(4x^2+1)^tfrac32-116(4x^2+1)^tfrac12+C

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