Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=-1 & se -1á

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Transformada de Fourier! O problema nos pede para encontrar a representação integral de Fourier de uma função $ f(x) $ que é definida de forma diferente em certos intervalos. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da Transformada de Fourier e saber como aplicar integrais para funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula geral da Transformada de Fourier é:
F(omega) = integral-infty^infty f(x) e^-i omega x dx
Aqui, $ F(\omega) $ é a transformada de Fourier de $ f(x) $, e $ \omega $ representa a frequência.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função $ f(x) $ dada no exercício:
f(x) á
Isso significa que $ f(x) $ é igual a -1 no intervalo de -1 a 0, igual a 1 no intervalo de 0 a 1 e zero fora desses intervalos.

Passo 4

Vamos aplicar a definição da Transformada de Fourier à nossa função $ f(x) $. Como $ f(x) $ é diferente de zero apenas entre -1 e 1, podemos restringir os limites da integral:
f(x)

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral-1^0 (-1) e^-i omega x dx = -integral-1^0 e^-i omega x dx
Integrando:
- [ e^-i omega x-i omega ]-1^0 = 1i omega ( e^0 - e^i omega ) = 1 - e^i omegai omega
Segunda integral:
integral0^1 e^-i omega x dx = [ e^-i omega x-i omega ]0^1 = 1-i omega ( e^-i omega - 1 ) = 1 - e^-i omegai omega

Passo 6

Agora, somamos as duas integrais:
F(omega) = 1 - e^i omegai omega + 1 - e^-i omegai omega = 2 - (e^i omega + e^-i omega)i omega
Sabemos que $ e^{i \omega} + e^{-i \omega} = 2 \cos(\omega) $, então:
e^i omega + e^-i omega = 2 cos(omega)

Resposta

A representação integral de Fourier da função $ f(x) $ é:
f(x)

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