Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos,
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Transformada de Fourier! O problema nos pede para encontrar a representação integral de Fourier de uma função $ f(x) $ que é definida de forma diferente em certos intervalos. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da Transformada de Fourier e saber como aplicar integrais para funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula geral da Transformada de Fourier é:
Aqui, $ F(\omega) $ é a transformada de Fourier de $ f(x) $, e $ \omega $ representa a frequência.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função $ f(x) $ dada no exercício:
Isso significa que $ f(x) $ é igual a -1 no intervalo de -1 a 0, igual a 1 no intervalo de 0 a 1 e zero fora desses intervalos.
Passo 4
Vamos aplicar a definição da Transformada de Fourier à nossa função $ f(x) $. Como $ f(x) $ é diferente de zero apenas entre -1 e 1, podemos restringir os limites da integral:
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Integrando:
Segunda integral:
Passo 6
Agora, somamos as duas integrais:
Sabemos que $ e^{i \omega} + e^{-i \omega} = 2 \cos(\omega) $, então:
Resposta
A representação integral de Fourier da função $ f(x) $ é: