Calcule as integrais indefinidas:
p)
.
p)
Passo 1
Nessa questão vamos calcular a integral indefinida
. O conteúdo envolve técnicas de integração de funções com raiz quadrada de um polinômio de segundo grau, e vamos precisar completar o quadrado e usar substituição para integrais do tipo
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos completar o quadrado dentro da raiz para colocar a expressão no formato
. Observa que:
Passo 3
Agora fazemos a mudança de variável
Substituímos
Substituímos
Com isso a integral fica
Passo 4
Em seguida, separamos a integral em duas partes:
Para isso lembramos das fórmulas:
Passo 5
Aplicando essas fórmulas às duas integrais:
- Para
temos
- Paratemos
Somando e incluindo a constante de integração, obtemos
Passo 6
Por fim, voltamos à variável original
usando
. Assim:
portanto a integral fica
Resposta
-\sqrt{24 + 2x - x^2} + \arcsin\Bigl(\frac{x-1}{5}\Bigr) + C