Calcule as integrais indefinidas:
p) integral xraiz24+2 x-x^2 d x.

Passo 1

Nessa questão vamos calcular a integral indefinida integral xraiz24+2x - x^2,dx. O conteúdo envolve técnicas de integração de funções com raiz quadrada de um polinômio de segundo grau, e vamos precisar completar o quadrado e usar substituição para integrais do tipo integral uraiza^2-u^2du e integral duraiza^2-u^2.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado dentro da raiz para colocar a expressão no formato raiza^2-(x-h)^2. Observa que:
24 + 2x - x^2 = -(x^2 - 2x - 24) = -l((x-1)^2 - 25r) = 25 - (x-1)^2

Passo 3

Agora fazemos a mudança de variável
Substituímos
t = x - 1, x = t + 1, dx = dt
Com isso a integral fica
integral xraiz24+2x - x^2,dx = integral t+1raiz25 - t^2,dt

Passo 4

Em seguida, separamos a integral em duas partes:
integral t+1raiz25 - t^2,dt = integral traiz25 - t^2,dt + integral 1raiz25 - t^2,dt
Para isso lembramos das fórmulas:
integral uraiza^2 - u^2,du = -raiza^2 - u^2 + C,
integral duraiza^2 - u^2 = arcsinl(uar) + C

Passo 5

Aplicando essas fórmulas às duas integrais:
  • Para integral traiz25 - t^2,dt temos -raiz25 - t^2
    - Para integral 1raiz25 - t^2,dt temos
    arcsinl(t5r)
Somando e incluindo a constante de integração, obtemos
-raiz25 - t^2 + arcsinl(t5r) + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original x usando t = x - 1. Assim:
raiz25 - t^2 = raiz25 - (x-1)^2 = raiz24 + 2x - x^2,
portanto a integral fica
-raiz24 + 2x - x^2 + arcsinl(x-15r) + C

Resposta

-\sqrt{24 + 2x - x^2} + \arcsin\Bigl(\frac{x-1}{5}\Bigr) + C

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