Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, ).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a representação integral de Fourier da função dada. Basicamente, isso significa expressar a função $ f(x) $ como uma combinação de senos e cossenos (ou exponenciais complexas) integrados ao longo de todo o eixo real. Para isso, vamos usar os conceitos de transformada de Fourier. Vamos precisar entender como calcular essa transformada para funções definidas por partes, como a que temos aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função $ f(x) $ é definida por:
f(x)
Essa fórmula transforma a função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências.
Passo 3
No nosso caso, a função $ f(x) $ é zero fora do intervalo f(x) e [-2, -1], então podemos simplificar a integral para esses intervalos:
[1, 2]
Como as partes onde $ f(x) = 0 $ não contribuem para a integral, temos:
Para simplificar ainda mais, notamos que termos como $ e^{-ik} $ e $ e^{ik} $ podem ser relacionados a funções cosseno usando a identidade $ e^{ikx} + e^{-ikx} = 2\cos(kx) $. Aplicando isso:
e^-ik
Fatorando o 2:
e^ik
Passo 8
Finalmente, podemos escrever a representação integral de Fourier da função $ f(x) $ usando $ F(k) $:
f(x)
Resposta
A representação integral de Fourier da função $ f(x) $ é: