Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)= 0 & se -1á

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a representação integral de Fourier da função dada. Basicamente, isso significa expressar a função $ f(x) $ como uma combinação de senos e cossenos (ou exponenciais complexas) integrados ao longo de todo o eixo real. Para isso, vamos usar os conceitos de transformada de Fourier. Vamos precisar entender como calcular essa transformada para funções definidas por partes, como a que temos aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função $ f(x) $ é definida por:
f(x)
Essa fórmula transforma a função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências.

Passo 3

No nosso caso, a função $ f(x) $ é zero fora do intervalo f(x) e [-2, -1], então podemos simplificar a integral para esses intervalos:
[1, 2]
Como as partes onde $ f(x) = 0 $ não contribuem para a integral, temos:
F(k) = integral-2^-1 0 cdot e^-ikx , dx + integral1^2 1 cdot e^-ikx , dx + integral-1^1 0 cdot e^-ikx , dx

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, para $ \int_{1}^{2} e^{-ikx} , dx $:
integral1^2 e^-ikx , dx
Simplificando:
integral1^2 e^-ikx , dx = [ e^-ikx-ik ]1^2 = e^-ik cdot 2 - e^-ik cdot 1-ik = e^-2ik - e^-ik-ik
Mas vamos manter na forma:
e^-ik (e^-ik - 1)-ik = e^-ik - e^-2ik-ik = 1 - e^-ikik cdot e^-ik

Passo 5

Agora, para $ \int_{-2}^{-1} e^{-ikx} , dx $:
integral-2^-1 e^-ikx , dx
Simplificando:
integral-2^-1 e^-ikx , dx = [ e^-ikx-ik ]-2^-1 = e^ik cdot 1 - e^ik cdot 2-ik = e^ik - e^2ik-ik

Passo 6

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
F(k) = e^-2ik - e^-ik-ik + e^2ik - e^ikik
Podemos fatorar $ \frac{1}{ik} $ em comum:
1ik

Passo 7

Para simplificar ainda mais, notamos que termos como $ e^{-ik} $ e $ e^{ik} $ podem ser relacionados a funções cosseno usando a identidade $ e^{ikx} + e^{-ikx} = 2\cos(kx) $. Aplicando isso:
e^-ik
Fatorando o 2:
e^ik

Passo 8

Finalmente, podemos escrever a representação integral de Fourier da função $ f(x) $ usando $ F(k) $:
f(x)

Resposta

A representação integral de Fourier da função $ f(x) $ é:
f(x)

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