Resolva:
y^prime prime+2 y^prime-4 y=x^2+5 x+1

Passo 1

Estamos resolvendo a equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' - 4y = x^2 + 5x + 1
Para isso, vamos obter a solução geral como soma da solução homogênea (resolvendo a equação característica) e de uma solução particular (método dos coeficientes indeterminados).

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 2y' - 4y = 0
Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 2r - 4 = 0
Resolvendo, temos
r = -2 pm raiz4 + 162 = -1 pm raiz5
Logo, a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^(-1+raiz5)x + C2 e^(-1-raiz5)x

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2, assumimos
yp(x) = A x^2 + B x + C
Calculamos as derivadas:
yp'(x) = 2A x + B, yp''(x) = 2A

Passo 4

Substituindo em
y'' + 2y' - 4y = x^2 + 5x + 1,
temos
2A + 2(2Ax + B) - 4(Ax^2 + Bx + C) = x^2 + 5x + 1
Agrupando coeficientes:
-4A,x^2 + (4A - 4B),x + (2A + 2B - 4C) = x^2 + 5x + 1
Igualando coeficientes em cada potência de x, obtemos o sistema
$$\begin{cases}
-4A = 1,\
4A - 4B = 5,\
2A + 2B - 4C = 1.
\end{cases} -4A = 1, 4A - 4B = 5, 2A + 2B - 4C = 1 A = -\tfrac14, \quad B = -\tfrac32, \quad C = -\tfrac98.$$

Passo 5

A solução geral da equação dada é a soma de yh e yp. Portanto,
y(x) = C1 e^(-1+raiz5)x + C2 e^(-1-raiz5)x - tfrac14 x^2 - tfrac32 x - tfrac98

Resposta

y(x) = C_1 e^{(-1+\sqrt5)x} + C_2 e^{(-1-\sqrt5)x} - \tfrac14 x^2 - \tfrac32 x - \tfrac98

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