Resolva:
Passo 1
Estamos resolvendo a equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
Para isso, vamos obter a solução geral como soma da solução homogênea (resolvendo a equação característica) e de uma solução particular (método dos coeficientes indeterminados).
Passo 2
A parte homogênea é
Escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo, temos
Logo, a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte particular, como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 2, assumimos
Calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituindo em
temos
Agrupando coeficientes:
Igualando coeficientes em cada potência de x, obtemos o sistema
$$\begin{cases}
-4A = 1,\
4A - 4B = 5,\
2A + 2B - 4C = 1.
4A - 4B = 5,\
2A + 2B - 4C = 1.
\end{cases}
A = -\tfrac14, \quad B = -\tfrac32, \quad C = -\tfrac98.$$
Passo 5
A solução geral da equação dada é a soma de
e
. Portanto,
Resposta
y(x) = C_1 e^{(-1+\sqrt5)x} + C_2 e^{(-1-\sqrt5)x} - \tfrac14 x^2 - \tfrac32 x - \tfrac98