Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos,
).
Passo 1
Resumo: o problema pede a representação integral de Fourier da “função triângulo”
f(x)=1−|x| para –1<x<1 e zero caso contrário. Vamos usar o conceito de transformada de Fourier e sua fórmula inversa para escrever f(x) como integral sobre frequências.
f(x)=1−|x| para –1<x<1 e zero caso contrário. Vamos usar o conceito de transformada de Fourier e sua fórmula inversa para escrever f(x) como integral sobre frequências.
Passo 2
Definição da transformada: para uma função real e par f(x), a transformada de Fourier é
Como f é par, podemos reduzir a integral a cossenos:
Passo 3
Cálculo da integral de cossenos: usamos duas integrais conhecidas por partes:
Logo,
Passo 4
Expressão da transformada: substituindo o resultado, obtém-se
Passo 5
Fórmula inversa: para recuperar f(x) a partir de F(ω), usamos
Como F(ω) é par e real, podemos também escrever em termos de cosseno:
Passo 6
Integração final: reunindo tudo, a representação integral fica
$$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}{\infty}\frac{2\bigl(1-\cos\omega\bigr)}{\omega{2}},e^{i\omega x},d\omega
=\frac{1}{\pi}\int_{0}{\infty}\frac{1-\cos\omega}{\omega{2}}\cos(\omega x),d\omega.$$