Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=cl1-|x| & se -1á

Passo 1

Resumo: o problema pede a representação integral de Fourier da “função triângulo”
f(x)=1−|x| para –1<x<1 e zero caso contrário. Vamos usar o conceito de transformada de Fourier e sua fórmula inversa para escrever f(x) como integral sobre frequências.

Passo 2

Definição da transformada: para uma função real e par f(x), a transformada de Fourier é
F(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx
Como f é par, podemos reduzir a integral a cossenos:
F(omega)=2integral0^1(1-x)cos(omega x),dx

Passo 3

Cálculo da integral de cossenos: usamos duas integrais conhecidas por partes:
integral0^1cos(omega x),dx=sinomegaomega,
integral0^1xcos(omega x),dx=sinomegaomega+cosomega-1omega^2
Logo,
integral0^1(1-x)cos(omega x),dx=1-cosomegaomega^2

Passo 4

Expressão da transformada: substituindo o resultado, obtém-se
F(omega)=2,1-cosomegaomega^2

Passo 5

Fórmula inversa: para recuperar f(x) a partir de F(ω), usamos
f(x)=12piintegral-infty^inftyF(omega)e^iomega x,domega
Como F(ω) é par e real, podemos também escrever em termos de cosseno:

Passo 6

Integração final: reunindo tudo, a representação integral fica
$$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}{\infty}\frac{2\bigl(1-\cos\omega\bigr)}{\omega{2}},e^{i\omega x},d\omega
=\frac{1}{\pi}\int_{0}{\infty}\frac{1-\cos\omega}{\omega{2}}\cos(\omega x),d\omega.$$

Resposta

f(x)=12piintegral-infty^infty2l(1-cosomegar)omega^2,e^iomega x,domega =1piintegral0^infty1-cosomegaomega^2cos(omega x),domega

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