Resolva:
y^prime prime-4 y^prime-1=4 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-4y'-1 = 4e^2x,
que é uma EDO linear não homogênea. Note que não há termo em y sem derivada, então podemos reduzir a ordem definindo p(x)=y'(x).

Passo 2

Definindo p=y', temos
p' = y''
e a equação fica
$$p’ - 4p = 1 + 4e^{2x}.
$$
Isso é uma EDO linear de primeira ordem no formato p' - 4p = 1 + 4e^2x , com p' + a p = q(x) e a=-4. O fator integrante é
$$\mu(x)=e^{\int a,dx}=e^{-4x}.
$$
Multiplicando ambos os lados por q(x)=1+4e^2x obtemos
$$(p,e^{-4x})’ = e{-4x}(1+4e{2x}).
$$
Agora integramos:
$$p(x)e^{-4x} = \int e^{-4x},dx + 4\int e^{-2x},dx + K.
$$
Calculando as integrais:
$$\int e^{-4x},dx = -\tfrac14e^{-4x},
$$
$$4\int e^{-2x},dx = 4\Bigl(-\tfrac12e^{-2x}\Bigr) = -2e^{-2x}.
$$
Logo
$$p(x)e^{-4x} = -\tfrac14e^{-4x} -2e^{-2x} + K,
$$
e multiplicando por mu(x)=e^integral a,dx=e^-4x :
$$p(x)=K e^{4x} - \tfrac14 -2e^{2x}.
$$

Passo 3

Agora basta integrar p(x)=y'(x) para obter y(x):
$$y(x) = \int\bigl(K e^{4x} - \tfrac14 -2e^{2x}\bigr)dx.
$$
Fazendo as integrais:
$$\int K e^{4x}dx = \tfrac{K}{4}e^{4x},\quad \int\bigl(-\tfrac14\bigr)dx = -\tfrac{x}{4},\quad \int(-2e^{2x})dx = -e^{2x}.
$$
Logo
$$y(x)= \tfrac{K}{4}e^{4x} - \tfrac{x}{4} - e^{2x} + D,
$$
sendo y(x) = integrall(K e^4x - tfrac14 -2e^2xr)dx a constante de integração.

Passo 4

Renomeando as constantes de forma mais convencional:
$$C_1=\tfrac{K}{4},\quad C_2=D,
$$
a solução geral fica
$$y(x)=C_1e^{4x}+C_2 - e^{2x} - \frac{x}{4}.
$$

Resposta

y(x)=C1e^4x+C2 - e^2x - x4

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