Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
que é uma EDO linear não homogênea. Note que não há termo em
sem derivada, então podemos reduzir a ordem definindo
.
Passo 2
Definindo
, temos
e a equação fica
$$p’ - 4p = 1 + 4e^{2x}.
$$
Isso é uma EDO linear de primeira ordem no formato
, com
e
. O fator integrante é
$$\mu(x)=e^{\int a,dx}=e^{-4x}.
$$
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
$$(p,e^{-4x})’ = e{-4x}(1+4e{2x}).
$$
Agora integramos:
$$p(x)e^{-4x} = \int e^{-4x},dx + 4\int e^{-2x},dx + K.
$$
Calculando as integrais:
$$\int e^{-4x},dx = -\tfrac14e^{-4x},
$$
$$4\int e^{-2x},dx = 4\Bigl(-\tfrac12e^{-2x}\Bigr) = -2e^{-2x}.
$$
Logo
$$p(x)e^{-4x} = -\tfrac14e^{-4x} -2e^{-2x} + K,
$$
e multiplicando por
:
$$p(x)=K e^{4x} - \tfrac14 -2e^{2x}.
$$
Passo 3
Agora basta integrar
para obter
:
$$y(x) = \int\bigl(K e^{4x} - \tfrac14 -2e^{2x}\bigr)dx.
$$
Fazendo as integrais:
$$\int K e^{4x}dx = \tfrac{K}{4}e^{4x},\quad \int\bigl(-\tfrac14\bigr)dx = -\tfrac{x}{4},\quad \int(-2e^{2x})dx = -e^{2x}.
$$
Logo
$$y(x)= \tfrac{K}{4}e^{4x} - \tfrac{x}{4} - e^{2x} + D,
$$
sendo
a constante de integração.
Passo 4
Renomeando as constantes de forma mais convencional:
$$C_1=\tfrac{K}{4},\quad C_2=D,
$$
a solução geral fica
$$y(x)=C_1e^{4x}+C_2 - e^{2x} - \frac{x}{4}.
$$