Resolva:
2 y^prime prime-2 y^prime+16=0

Passo 1

Temos a equação diferencial 2y''-2y'+16=0, que é linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo independente. Para resolver, vamos usar o método da equação característica na parte homogênea e coeficientes indeterminados para encontrar uma particular.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea: dividindo por 2, fica y''-y'=0. Montamos a equação característica
r^2 - r = 0
cuja raiz dupla simples é r=0 e r=1. Assim a solução homogênea é
yh(x)=C1e^0x+C2e^1x=C1+C2e^x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular. Como o termo livre é constante, chutamos um polinômio de grau 1:
yp(x)=Ax+B

Passo 4

As derivadas são
$$y_p’(x)=A,
quad y_p’’(x)=0$$

Passo 5

Substituindo em 2y''-2y'+16=0 obtemos
-2A+16=0
logo A=8. O valor de B fica livre e será absorvido em C1.
A solução geral é a soma de yh com yp:
y(x)=C1+C2e^x+8x

Resposta

y(x)=C1 + C2e^x + 8x

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