Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=ll0 & se -1á

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a função f(x) que vale 1 nos intervalos [1,2] e [-2,-1], e zero no resto do eixo. O conteúdo é a transformada integral de Fourier e a fórmula de inversão, e para resolver vamos precisar usar a definição de transformada complexa de Fourier e depois aplicar a inversão para escrever f(x) como uma integral de exponenciais.

Passo 2

A definição da transformada de Fourier que vamos usar é
F(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx,
ou seja, a integral da função multiplicada por e^-iomega x.

Passo 3

Como f(x)=1 só em [1,2] e [-2,-1], dividimos a integral e escrevemos
F(omega)=integral1^2e^-iomega x,dx+integral-2^-1e^-iomega x,dx

Passo 4

Agora calculamos cada integral de exponencial complexa. Para um intervalo genérico [a,b] vale
integrala^be^-iomega x,dx=[e^-iomega x-iomega]x=a^x=b= race^-iomega b-e^-iomega a-iomega = e^-iomega a-e^-iomega biomega

Passo 5

Aplicando isso em [1,2] e em [-2,-1] obtemos
integral1^2e^-iomega x,dx=e^-iomega-e^-2iomegaiomega,
integral-2^-1e^-iomega x,dx=e^2iomega-e^iomegaiomega Somando dá
F(omega)=e^2iomega-e^iomega+e^-iomega-e^-2iomegaiomega

Passo 6

Para simplificar usamos as identidades de seno:
e^2iomega-e^-2iomega=2isin(2omega), e^iomega-e^-iomega=2isin(omega) Isso leva a
F(omega)=2isin(2omega)-2isin(omega)iomega=2l(sin(2omega)-sin(omega)r)omega

Passo 7

Finalmente, pela fórmula de inversão da transformada de Fourier, escrevemos f(x) como
f(x)=12piintegral-infty^inftyF(omega)e^iomega x,domega =12piintegral-infty^infty2l(sin(2omega)-sin(omega)r)omega,e^iomega x,domega

Resposta

A representação integral de Fourier é
f(x)=12piintegral-infty^infty2l(sin(2omega)-sin(omega)r)omega,e^iomega x,domega

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