Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=e^-x^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a representação integral de Fourier de f(x)=e{-x2}. O conteúdo envolve a definição de transformada de Fourier integral e sua fórmula de inversão, e vamos precisar usar a integral clássica gaussiana.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier pelo
F(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx
e a inversa por
f(x)=12piintegral-infty^inftyF(omega)e^iomega x,domega

Passo 3

Para calcular F(\omega), substituímos f(x)=e{-x2} e completamos o quadrado no expoente:
Começamos com
integral-infty^inftye^-x^2e^-iomega x,dx=integral-infty^inftye^-l(x^2+iomega xr),dx
Fazendo x^2+iomega x=l(x+iomega/2r)^2+omega^2/4 e usando a integral gaussiana padrão obtemos
F(omega)=raizpi,e^-omega^2/4

Passo 4

Substituindo na fórmula de inversão, escrevemos a representação integral de f(x):
e^-x^2=12piintegral-infty^inftyF(omega)e^iomega x,domega=12piintegral-infty^inftyraizpi,e^-omega^2/4e^iomega x,domega=12raizpiintegral-infty^inftye^-omega^2/4e^iomega x,domega

Resposta

A transformada de Fourier de e^-x^2 é
F(omega)=raizpi,e^-omega^2/4,
e a representação integral inversa correspondente é
e^-x^2=12raizpiintegral-infty^inftye^-omega^2/4,e^iomega x,domega

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