Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos,
).
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a representação integral de Fourier de f(x)=e{-x2}. O conteúdo envolve a definição de transformada de Fourier integral e sua fórmula de inversão, e vamos precisar usar a integral clássica gaussiana.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier pelo
e a inversa por
Passo 3
Para calcular F(\omega), substituímos f(x)=e{-x2} e completamos o quadrado no expoente:
Começamos com
Começamos com
Fazendo
Passo 4
Substituindo na fórmula de inversão, escrevemos a representação integral de f(x):
Resposta
A transformada de Fourier de
é
e a representação integral inversa correspondente é