Resolva:
y^prime prime+4 y^prime=2 sen(2 x)+x

Passo 1

A equação dada é
y'' + 4y' = 2sin(2x) + x
Ela é uma EDO linear de 2ª ordem não homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos achar a solução geral como soma da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Começamos pela solução homogênea. O polinômio característico é
r^2 + 4r = 0
Portanto as raízes são r=0 e r=-4, e
yh(x) = C1 + C2 e^-4x ,
onde C_1 e C_2 são constantes.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular para a parte trigonométrica 2\sin(2x). Assumimos
yp1(x) = Acos(2x) + Bsin(2x)
Calculamos as derivadas:
yp1' = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x),
yp1'' = -4Acos(2x) - 4Bsin(2x)
Substituindo em y’’+4y’=2\sin(2x) e igualando coeficientes, obtemos

Passo 4

(-4A + 8B)cos(2x) + (-4B - 8A)sin(2x) = 0cos(2x) + 2sin(2x)
Assim
-4A + 8B = 0, -4B -8A = 2
Resolvendo, A = -\tfrac{1}{5}, B = -\tfrac{1}{10}. Então
yp1(x) = -tfrac15cos(2x) - tfrac110sin(2x)

Passo 5

Para a parte polinomial x do segundo membro, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como r=0 é raiz simples, multiplicamos por x e assumimos
yp2(x) = a x^2 + b x
Daí
yp2' = 2a x + b,
yp2'' = 2a
Substituindo em y’’+4y’ = x, temos
2a + 4(2a x + b) = 8a x + (2a + 4b) = x
Igualando coeficientes:
8a = 1, 2a + 4b = 0
Logo a=\tfrac18, b=-\tfrac{1}{16}, e
yp2(x) = tfrac18x^2 - tfrac116x

Passo 6

A solução geral é a soma dos termos homogêneo e particular:

Passo 7

y(x) = C1 + C2 e^-4x - tfrac15cos(2x) - tfrac110sin(2x) + tfrac18x^2 - tfrac116x

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{-4x} - \tfrac{1}{5}\cos(2x) - \tfrac{1}{10}\sin(2x) + \tfrac{1}{8}x^2 - \tfrac{1}{16}x

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