Resolva:
Passo 1
A equação dada é
Ela é uma EDO linear de 2ª ordem não homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos achar a solução geral como soma da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Começamos pela solução homogênea. O polinômio característico é
Portanto as raízes são r=0 e r=-4, e
onde C_1 e C_2 são constantes.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular para a parte trigonométrica 2\sin(2x). Assumimos
Calculamos as derivadas:
Substituindo em y’’+4y’=2\sin(2x) e igualando coeficientes, obtemos
Passo 4
Assim
Resolvendo, A = -\tfrac{1}{5}, B = -\tfrac{1}{10}. Então
Passo 5
Para a parte polinomial x do segundo membro, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como r=0 é raiz simples, multiplicamos por x e assumimos
Daí
Substituindo em y’’+4y’ = x, temos
Igualando coeficientes:
Logo a=\tfrac18, b=-\tfrac{1}{16}, e
Passo 6
A solução geral é a soma dos termos homogêneo e particular:
Passo 7
Resposta
y(x) = C_1 + C_2 e^{-4x} - \tfrac{1}{5}\cos(2x) - \tfrac{1}{10}\sin(2x) + \tfrac{1}{8}x^2 - \tfrac{1}{16}x