Obtenha o desenvolvimento em série de Fourier-cosseno da função:
f(x)=cos pi x2, para 0.

Passo 1

A função é f(x)=cos(πx/2) definida em 0<x<1, e queremos seu desenvolvimento em série de Fourier–cosseno no intervalo [0,1]. O conteúdo aqui é séries de Fourier–cosseno, usando ortogonalidade das funções cos(nπx). Vamos precisar da definição dos coeficientes e de integrar produtos de cossenos.

Passo 2

A série de Fourier–cosseno em [0,1] tem a forma
f(x)=A02+sumn=1^inftyancos(npi x)
com os coeficientes dados por
A0=2integral0^1f(x),dx,
an=2integral0^1f(x)cos(npi x),dx

Passo 3

Calcular A_0:
A0=2integral0^1cosl(pi x2r),dx =2l[2pisinl(pi x2r)r]0^1 =2cdot2pisinl(pi2r) =4pi
Logo, o termo constante é A_0/2=2/π.

Passo 4

Calcular a_n: primeiro escrevemos a integral
In=integral0^1cosl(pi x2r)cos(npi x),dx
Usando cos Acos B=tfrac12[cos(A+B)+cos(A-B)], obtemos
In=12integral0^1[cos((n+tfrac12)pi x)+cos((n-tfrac12)pi x)],dx =(-1)^n+12pil(n^2-tfrac14r)
Então
an=2In=(-1)^n+1pil(n^2-tfrac14r) =4(-1)^n+1pi(4n^2-1)

Passo 5

Substituindo na série, chegamos ao desenvolvimento desejado.

Resposta

cosl(tfracpi x2r)=2pi+sumn=1^infty4(-1)^n+1pi(4n^2-1)cos(npi x)

Exercícios relacionados