Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=llx & se -1á

Passo 1

O enunciado pede pra representar a função f(x), que vale x em (–1,1) e zero fora, na forma da integral de Fourier. Isso envolve dois passos principais: achar a transformada de Fourier F(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx e depois escrever f(x) pela fórmula inversa. Vamos usar aqui a convenção
f(x)=12piintegral-infty^inftyF(omega)e^iomega x,domega

Passo 2

Primeiro montamos a integral da transformada:
F(omega)=integral-1^1x,e^-iomega x,dx
Repare que fora de (–1,1) f(x)=0, então a integral de –∞ a ∞ vira de –1 a 1.

Passo 3

Para calcular integral-1^1x e^-iomega x,dx usamos integração por partes. Escolhemos
u=x, dv=e^-iomega xdx, du=dx, v=-e^-iomega xiomega
Assim
integral-1^1x e^-iomega x,dx =l[-x e^-iomega xiomegar]-1^1 +1iomegaintegral-1^1e^-iomega x,dx

Passo 4

Agora computamos cada parte separadamente:
  1. O termo de fronteira:
l[-x e^-iomega xiomegar]-1^1 =-e^-iomegaiomega-l(--1cdot e^iomegaiomegar) =2icosomegaomega
  1. A integral simples:
integral-1^1e^-iomega x,dx =e^iomega-e^-iomegaiomega =2sinomegaomega
Multiplicando por 1/(iomega)
1iomegacdot2sinomegaomega =-2isinomegaomega^2

Passo 5

Somando os dois resultados obtemos
F(omega)=2icosomegaomega-2isinomegaomega^2 =2iomegacosomega-sinomegaomega^2

Passo 6

Agora, pela fórmula inversa, escrevemos f(x) como
f(x)=12piintegral-infty^inftyF(omega)e^iomega x,domega =12piintegral-infty^infty2iomegacosomega-sinomegaomega^2 ,e^iomega x,domega

Resposta

f(x)=12piintegral-infty^infty2iomegacosomega-sinomegaomega^2 ,e^iomega x,domega

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