Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos,
).
Passo 1
O enunciado pede pra representar a função f(x), que vale x em (–1,1) e zero fora, na forma da integral de Fourier. Isso envolve dois passos principais: achar a transformada de Fourier
e depois escrever
pela fórmula inversa. Vamos usar aqui a convenção
Passo 2
Primeiro montamos a integral da transformada:
Repare que fora de (–1,1) f(x)=0, então a integral de –∞ a ∞ vira de –1 a 1.
Passo 3
Para calcular
usamos integração por partes. Escolhemos
Assim
Passo 4
Agora computamos cada parte separadamente:
- O termo de fronteira:
- A integral simples:
Multiplicando por
dá
Passo 5
Somando os dois resultados obtemos
Passo 6
Agora, pela fórmula inversa, escrevemos f(x) como