Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
(y^{2}+x y) d x+x^{2} d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
(y^{2}+x y)\,d x + x^{2}\,d y = 0
e pede para resolvê‑la usando uma substituição apropriada.
Informações relevantes do enunciado:
A equação envolve x e y e está na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=y^{2}+xy e N(x,y)=x^{2}.
Quer‑se a solução geral (família de curvas) da equação diferencial.
Passo 2
Vamos analisar a forma das funções M e N para escolher uma substituição que simplifique a equação. Note que cada termo em M e em N tem grau total 2 em x,y (por exemplo y^{2} é grau 2, xy é grau 2, x^{2} é grau 2). Isso sugere que a equação é homogênea de grau 2 e que a substituição padrão para equações homogêneas funciona bem: definir
v=\frac{y}{x},
ou seja, y=vx. Vou explicar por que essa substituição ajuda: quando y aparece sempre combinado com x em termos do mesmo grau, escrever y como v x transforma a equação em uma equação em v e x que muitas vezes é separável. Agora vamos aplicar a substituição.
Passo 3
Fazendo y=vx, a derivada é
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Substituo y=vx e \dfrac{dy}{dx} na equação original. Primeiro reescrevo a equação como forma de derivada:
(y^{2}+x y) + x^{2}\frac{dy}{dx}=0.
Substituindo:
((v x)^{2} + x\cdot v x) + x^{2}\left(v + x\frac{dv}{dx}\right)=0.
Agora expando e simplifico passo a passo:
v^{2}x^{2} + v x^{2} + x^{2}v + x^{3}\frac{dv}{dx}=0.
Agrupando termos semelhantes v x^{2} e dividindo por x^{2} (assumindo x\neq 0 momentaneamente):
v^{2} + v + v + x\frac{dv}{dx}=0.
Ou seja,
v^{2} + 2v + x\frac{dv}{dx}=0.
Isolando o termo com \dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx} = -v^{2} - 2v.
Passo 4
Agora escrevo a equação de forma separável:
\frac{dv}{v^{2}+2v} = -\frac{dx}{x}.
Para integrar o lado esquerdo vou decompor em frações parciais. Primeiro fatoro o denominador:
Esta é a forma implícita mais compacta da família de soluções. Se desejar isolo y explicitamente: multiplicando e resolvendo para y,
y = \frac{2K x}{x^{2}-K}.
Observações importantes sobre soluções especiais:
A integração separada assumiu v\neq -2 e v\neq 0 durante os passos (pois dividimos por fatores). Entretanto, as soluções constantes em v devem ser checadas diretamente:
v=0 dá y=0, que é uma solução (pega pela fórmula com K=0).
v=-2 dá y=-2x. Verificando na equação original, y=-2x satisfaz a equação, portanto é uma solução singular (corresponde ao caso onde a decomposição/integração exclui v+2=0). Deve ser incluída no conjunto de soluções.
Resposta
\displaystyle \frac{y}{y+2x} = \frac{C}{x^{2}} com C constante arbitrary\displaystyle .\n
ou, explicitamente,\displaystyle y=\frac{2C x}{x^{2}-C}.\n
Solução singular adicional: \displaystyle y=-2x.