Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
(y^{2}+x y) d x+x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(y^{2}+x y)\,d x + x^{2}\,d y = 0
e pede para resolvê‑la usando uma substituição apropriada.
Informações relevantes do enunciado:
  • A equação envolve x e y e está na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=y^{2}+xy e N(x,y)=x^{2}.
  • Quer‑se a solução geral (família de curvas) da equação diferencial.

Passo 2

Vamos analisar a forma das funções M e N para escolher uma substituição que simplifique a equação. Note que cada termo em M e em N tem grau total 2 em x,y (por exemplo y^{2} é grau 2, xy é grau 2, x^{2} é grau 2). Isso sugere que a equação é homogênea de grau 2 e que a substituição padrão para equações homogêneas funciona bem: definir
v=\frac{y}{x},
ou seja, y=vx. Vou explicar por que essa substituição ajuda: quando y aparece sempre combinado com x em termos do mesmo grau, escrever y como v x transforma a equação em uma equação em v e x que muitas vezes é separável. Agora vamos aplicar a substituição.

Passo 3

Fazendo y=vx, a derivada é
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Substituo y=vx e \dfrac{dy}{dx} na equação original. Primeiro reescrevo a equação como forma de derivada:
(y^{2}+x y) + x^{2}\frac{dy}{dx}=0.
Substituindo:
((v x)^{2} + x\cdot v x) + x^{2}\left(v + x\frac{dv}{dx}\right)=0.
Agora expando e simplifico passo a passo:
v^{2}x^{2} + v x^{2} + x^{2}v + x^{3}\frac{dv}{dx}=0.
Agrupando termos semelhantes v x^{2} e dividindo por x^{2} (assumindo x\neq 0 momentaneamente):
v^{2} + v + v + x\frac{dv}{dx}=0.
Ou seja,
v^{2} + 2v + x\frac{dv}{dx}=0.
Isolando o termo com \dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx} = -v^{2} - 2v.

Passo 4

Agora escrevo a equação de forma separável:
\frac{dv}{v^{2}+2v} = -\frac{dx}{x}.
Para integrar o lado esquerdo vou decompor em frações parciais. Primeiro fatoro o denominador:
v^{2}+2v = v(v+2).
Procuro constantes A,B tais que
\frac{1}{v(v+2)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v+2}.
Multiplicando por v(v+2) obtemos 1 = A(v+2) + Bv. Igualando coeficientes:
  • Para v: 0 = A + B.
  • Termo constante: 1 = 2A.
Daí A=\tfrac{1}{2} e B=-\tfrac{1}{2}. Logo
\frac{1}{v(v+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{v} - \frac{1}{v+2}\right).

Passo 5

Substituo a decomposição no integral:
\int \frac{dv}{v(v+2)} = \frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{v} - \frac{1}{v+2}\right)dv.
Integro ambos os lados da equação separada
\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{v} - \frac{1}{v+2}\right)dv = -\int\frac{dx}{x}.
As integrais são logaritmos:
\frac{1}{2}\big(\ln|v| - \ln|v+2|\big) = -\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração. Multiplicando por 2:
\ln\left|\frac{v}{v+2}\right| = -2\ln|x| + C_{1},
com C_{1}=2C. Posso reescrever -2\ln|x| = \ln|x^{-2}|, portanto
\ln\left|\frac{v}{v+2}\right| = \ln\big(|x|^{-2}\big) + C_{1}.
Exponenciando ambos os lados e absorvendo e^{C_{1}} numa constante K\neq 0,
\left|\frac{v}{v+2}\right| = K x^{-2}.
Removendo o valor absoluto pela constante K podendo ser positiva ou negativa, escrevo a solução implícita
\frac{v}{v+2} = \frac{K}{x^{2}}.

Passo 6

Volto à variável original y lembrando que v=\dfrac{y}{x}. Substituo:
\frac{\dfrac{y}{x}}{\dfrac{y}{x}+2} = \frac{K}{x^{2}}.
Simplifico o lado esquerdo:
\frac{y}{y+2x} = \frac{K}{x^{2}}.
Esta é a forma implícita mais compacta da família de soluções. Se desejar isolo y explicitamente: multiplicando e resolvendo para y,
y = \frac{2K x}{x^{2}-K}.
Observações importantes sobre soluções especiais:
  • A integração separada assumiu v\neq -2 e v\neq 0 durante os passos (pois dividimos por fatores). Entretanto, as soluções constantes em v devem ser checadas diretamente:
    • v=0 y=0, que é uma solução (pega pela fórmula com K=0).
    • v=-2 y=-2x. Verificando na equação original, y=-2x satisfaz a equação, portanto é uma solução singular (corresponde ao caso onde a decomposição/integração exclui v+2=0). Deve ser incluída no conjunto de soluções.

Resposta

\displaystyle \frac{y}{y+2x} = \frac{C}{x^{2}} com C constante arbitrary \displaystyle .\n
ou, explicitamente, \displaystyle y=\frac{2C x}{x^{2}-C}.\n
Solução singular adicional: \displaystyle y=-2x.

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