Encontre uma representação paramétrica e um vetor normal.
Cilindro hiperbólico
Cilindro hiperbólico
Passo 1
Nesse exercício temos um cilindro hiperbólico dado por 9x² − 4y² = 36, ou seja, uma curva hiperbólica no plano xy que se estende livremente ao longo do eixo z. Vamos usar parametrização de hipérbole e o conceito de gradiente para achar o normal.
Passo 2
Para parametrizar a hipérbole no plano xy, escrevemos a equação na forma
. Sabemos que uma parametrização de hipérbole é
,
, com
. Como o cilindro é independente de z, basta deixar
como parâmetro livre, digamos
. Então
Passo 3
Para obter um vetor normal à superfície, usamos a função
e calculamos seu gradiente. Como
, vem
Passo 4
Esse vetor é normal em cada ponto do cilindro, pois aponta na direção de maior variação de
e é ortogonal às curvas de nível definindo a superfície.
Resposta
Uma parametrização é
. Um vetor normal ao cilindro é
.