Encontre uma representação paramétrica e um vetor normal.
Cilindro hiperbólico 9 x^2-4 y^2=36

Passo 1

Nesse exercício temos um cilindro hiperbólico dado por 9x² − 4y² = 36, ou seja, uma curva hiperbólica no plano xy que se estende livremente ao longo do eixo z. Vamos usar parametrização de hipérbole e o conceito de gradiente para achar o normal.

Passo 2

Para parametrizar a hipérbole no plano xy, escrevemos a equação na forma x^24-y^29=1. Sabemos que uma parametrização de hipérbole é x=2cosh t, y=3sinh t, com tinR. Como o cilindro é independente de z, basta deixar z como parâmetro livre, digamos u. Então
r(t,u)=l(2cosh t,,3sinh t,,ur), tinR,;uinR

Passo 3

Para obter um vetor normal à superfície, usamos a função F(x,y,z)=9x^2-4y^2-36 e calculamos seu gradiente. Como nabla F=(partial F/partial x, partial F/partial y, partial F/partial z), vem
nabla F(x,y,z)=l(18x,,-8y,,0r)

Passo 4

Esse vetor é normal em cada ponto do cilindro, pois aponta na direção de maior variação de F e é ortogonal às curvas de nível definindo a superfície.

Resposta

Uma parametrização é r(t,u)=(2cosh t,,3sinh t,,u). Um vetor normal ao cilindro é n(x,y,z)=(18x,,-8y,,0).

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