Encontre uma representação paramétrica e um vetor normal.
Cone elíptico z=raiz9 x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede pra gente representar o cone elíptico definido por z=√(9x²+y²) de forma paramétrica e encontrar um vetor normal à superfície. O conteúdo é parametrização de superfícies em ℝ³ e cálculo de vetor normal via derivadas parciais e produto vetorial.

Passo 2

Para parametrizar, note que 9x²+y² deve virar um quadrado de um parâmetro u≥0. Definimos u=z e um ângulo v∈[0,2π). Como z=√(9x²+y²), basta fazer 9x²+y²=u². Uma escolha que dá essa relação é x=(u/3)cos v e y=u sin v. Assim a parametrização é
r(u,v)=l(u3cos v,;usin v,;ur), u>=0,;vin[0,2pi]

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais: ru=∂r/∂u e rv=∂r/∂v. Temos
ru=l(tfrac13cos v,;sin v,;1r), rv=l(-tfracu3sin v,;ucos v,;0r)

Passo 4

O vetor normal é dado por ru×rv. Fazendo o determinante, obtemos
n(u,v)= rutimes rv=l(-ucos v,;-tfracu3sin v,;tfracu3r)

Passo 5

Para simplificar, podemos fatorar u/3:
n(u,v)=u3,l(-3cos v,-sin v,1r)
Como u=z, usamos cos v=3x/u e sin v=y/u para reescrever em (x,y,z):
n(x,y,z)=(-9x,-y,z),que é um vetor normal à superfície.

Passo 6

Pronto: temos a parametrização e o vetor normal em função de (u,v) ou diretamente em (x,y,z).

Resposta

r(u,v)=l(tfracu3cos v,;usin v,;ur), u>=0, vin[0,2pi]
Vetor normal: n(u,v)=l(-ucos v,;-tfracu3sin v,;tfracu3r) ou, em coordenadas cartesianas, n(x,y,z)=(-9x,-y,z).

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