Encontre uma representação paramétrica e um vetor normal.
Cone elíptico
Cone elíptico
Passo 1
O enunciado pede pra gente representar o cone elíptico definido por z=√(9x²+y²) de forma paramétrica e encontrar um vetor normal à superfície. O conteúdo é parametrização de superfícies em ℝ³ e cálculo de vetor normal via derivadas parciais e produto vetorial.
Passo 2
Para parametrizar, note que 9x²+y² deve virar um quadrado de um parâmetro u≥0. Definimos u=z e um ângulo v∈[0,2π). Como z=√(9x²+y²), basta fazer 9x²+y²=u². Uma escolha que dá essa relação é x=(u/3)cos v e y=u sin v. Assim a parametrização é
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais: ru=∂r/∂u e rv=∂r/∂v. Temos
Passo 4
O vetor normal é dado por ru×rv. Fazendo o determinante, obtemos
Passo 5
Para simplificar, podemos fatorar u/3:
Como u=z, usamos cos v=3x/u e sin v=y/u para reescrever em (x,y,z):
Passo 6
Pronto: temos a parametrização e o vetor normal em função de (u,v) ou diretamente em (x,y,z).
Resposta
Vetor normal: