Mostre como encontrar a transformada de Laplace sen(2 t) de

Passo 1

Este exercício pede para calcular a transformada de Laplace de sin(2t). O conteúdo envolve transformada de Laplace de funções trigonométricas e integrais impróprias. Para resolver, vamos usar a definição de Lf(t) e integração por partes.

Passo 2

Pela definição, temos
F(s)=Lsin(2t)(s)=integral0^infty e^-stsin(2t),dt,
que converge se s>0.

Passo 3

Definindo
I=integral0^infty e^-stsin(2t),dt,
usamos integração por partes com u=sin(2t), dv=e^-stdt. Então du=2cos(2t)dt e v=-tfrac1s e^-st. Aplicando, obtemos
I=l[-tfrac1s e^-stsin(2t)r]0^infty+2sintegral0^infty e^-stcos(2t),dt=2sJ,
onde J=integral0^infty e^-stcos(2t),dt.

Passo 4

Para J, fazemos integração por partes novamente com u=cos(2t) e dv=e^-stdt. Logo du=-2sin(2t)dt e v=-tfrac1s e^-st. Isso leva a
J=l[-tfrac1s e^-stcos(2t)r]0^infty-integral0^inftyl(-tfrac1s e^-str)(-2sin(2t)),dt=1s-2sI

Passo 5

Substituindo J em I=tfrac2sJ e resolvendo para I, temos
I=2sl(1s-2sIr)implies Il(1+4s^2r)=2s^2implies I=2s^2+4

Resposta

F(s) = 2s^2 + 4

Exercícios relacionados