Encontre uma representação em série de potência para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma representação em série de potência para a função $ x^{2} \cdot e^{-x} $. Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, que são úteis para representar funções de maneira simplificada. Para resolver, vamos precisar conhecer a série de potência da função $ e^{-x} $ e então manipulá-la para incluir o fator $ x^{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potência da função $ e^{-x} $. A série de Taylor para $ e^{x} $ é conhecida e é dada por:
Agora, para $ e^{-x} $, basta substituir $ x $ por $ -x $:
Passo 3
Agora que temos a série para $ e^{-x} $, vamos multiplicar essa série por $ x^{2} $ para encontrar a série de $ x^{2} \cdot e^{-x} $:
Passo 4
Para simplificar, podemos distribuir o $ x^{2} $ dentro da série:
Resposta
A representação em série de potência para $ x^{2} \cdot e^{-x} $ é: