Encontre uma representação em série de potência para: x cdot e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potência para a função $ x \cdot e^{x} $. Essa questão está dentro do conteúdo de Séries de Potências, que faz parte do estudo de Cálculo. Para resolver isso, vamos usar a série de potência conhecida da função exponencial $ e^{x} $ e depois multiplicar cada termo por $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potência da função $ e^{x} $. Você já conhece a expansão de $ e^{x} $ em série de Taylor? Ela é dada por:
e^x
Aqui, $ n! $ representa o fatorial de $ n $, que é o produto de todos os números inteiros positivos até $ n $.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a série para $ x \cdot e^{x} $. Para isso, vamos multiplicar cada termo da série de $ e^{x} $ por $ x $. Ou seja:
x cdot e^x

Passo 4

Distribuindo o $ x $ dentro da série, ficamos com:
x
Perceba que $ x \cdot x^{n} = x^{n+1} $.

Passo 5

Para simplificar a expressão, vamos reescrever o índice da soma. Vamos deixar a potência de $ x $ em função de um novo índice. Se chamarmos $ m = n + 1 $, então quando $ n = 0 $, $ m = 1 $, e assim por diante. Substituindo, temos:
x

Resposta

Portanto, a representação em série de potência para $ x \cdot e^{x} $ é:
x cdot e^x

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