Sejam
e
funçōes diferenciáveis no subconjunto aberto
. Deduzir as seguintes propriedades do vetor gradiente:
;
Passo 1
Estamos lidando com funções diferenciáveis f e g definidas num aberto D⊂ℝᵐ e queremos mostrar que o vetor gradiente é linear, ou seja, que ∇(f+g)=∇f+∇g. Para isso, vamos usar a definição de gradiente e a propriedade de linearidade da derivação parcial.
Passo 2
Por definição, o gradiente de uma função h:D→ℝ em um ponto x=(x₁,…,xₘ) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de h. Explicitamente, temos
Passo 3
Como soma de funções, (f+g)(x)=f(x)+g(x) para todo x. Usando a linearidade da derivada parcial (que diz que a derivada de soma é soma das derivadas), obtemos para cada i=1,…,m
Passo 4
Reagrupando todas as componentes acima, concluímos que
Resposta
∇(f+g)=∇f+∇g