Sejam f e g funçōes diferenciáveis no subconjunto aberto D subset R^m. Deduzir as seguintes propriedades do vetor gradiente:
nabla(f+g)=nabla f+nabla g;

Passo 1

Estamos lidando com funções diferenciáveis f e g definidas num aberto D⊂ℝᵐ e queremos mostrar que o vetor gradiente é linear, ou seja, que ∇(f+g)=∇f+∇g. Para isso, vamos usar a definição de gradiente e a propriedade de linearidade da derivação parcial.

Passo 2

Por definição, o gradiente de uma função h:D→ℝ em um ponto x=(x₁,…,xₘ) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de h. Explicitamente, temos
∇h(x)=l(∂h∂x₁(x),∂h∂x₂(x),,∂h∂xₘ(x)r)

Passo 3

Como soma de funções, (f+g)(x)=f(x)+g(x) para todo x. Usando a linearidade da derivada parcial (que diz que a derivada de soma é soma das derivadas), obtemos para cada i=1,…,m
∂∂xil(f+gr)(x)=∂f∂xi(x)+∂g∂xi(x)

Passo 4

Reagrupando todas as componentes acima, concluímos que
∇(f+g)(x)=l(∂f∂x₁(x)+∂g∂x₁(x),,∂f∂xₘ(x)+∂g∂xₘ(x)r)=∇f(x)+∇g(x)

Resposta

∇(f+g)=∇f+∇g

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