Calcule a integral tripla:
\iiint_{W} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
usando uma mudança de variáveis conveniente, onde
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid \quad x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, \quad z \geq 0, \quad x^{2}+y^{2} \geq \frac{1}{9}\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iiint_{W} z \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
onde
W=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le4,\;z\ge0,\;x^{2}+y^{2}\ge\tfrac{1}{9}\}.
Este é um problema de integração em coordenadas cilíndricas, pois a região é descrita por uma esfera e um cilindro.

Passo 2

Fazemos a mudança
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
cujo jacobiano é r. A região em cilíndricas fica
0\le\theta\le2\pi,\quad \tfrac{1}{3}\le r\le2,\quad 0\le z\le\sqrt{4-r^{2}}.
Assim o integral vira
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{r=1/3}^{2}\!\int_{z=0}^{\sqrt{4-r^{2}}} z\,(r)\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em z:
\int_{0}^{\sqrt{4-r^{2}}} z\,\mathrm{d}z =\Bigl[\tfrac{z^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{\sqrt{4-r^{2}}} =\tfrac{1}{2}(4-r^{2}).
Multiplicando pelo fator r do jacobiano, obtemos
\int_{0}^{\sqrt{4-r^{2}}} z\,r\,\mathrm{d}z =\tfrac{r}{2}(4-r^{2}) =\tfrac{1}{2}(4r-r^{3}).

Passo 4

Agora integramos em r:
\int_{r=1/3}^{2}\tfrac{1}{2}(4r-r^{3})\,\mathrm{d}r =\tfrac{1}{2}\Bigl[\;2r^{2}-\tfrac{r^{4}}{4}\Bigr]_{1/3}^{2} =\tfrac{1}{2}\Bigl[(2\cdot4-\tfrac{16}{4})-\bigl(\tfrac{2}{9}-\tfrac{1}{648}\bigr)\Bigr].
Dentro dos colchetes temos
(8-4)-\bigl(\tfrac{2}{9}-\tfrac{1}{648}\bigr) =4-\bigl(\tfrac{144}{648}-\tfrac{1}{648}\bigr) =4-\tfrac{143}{648} =\tfrac{2592-143}{648} =\tfrac{2449}{648}.
Multiplicando por \tfrac12
\tfrac{2449}{1296}.

Passo 5

Finalmente integramos em \theta, de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi}\tfrac{2449}{1296}\,\mathrm{d}\theta =\tfrac{2449}{1296}\cdot2\pi =\tfrac{2449\pi}{648}.

Resposta

\iiint_{W} z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z =\frac{2449\pi}{648}.

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