Encontre uma representação em série de potências para cada uma das funções a seguir, centrada em
, e determine o intervalo de convergência da série. (Dica: Lembre-se da série geométrica básica:
Utilize substituições e manipulações algébricas adequadas para reescrever cada função neste formato ou em derivadas/integradas dela.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma representação em série de potências para a função $ f(x) = \frac{3}{1 - x^4} $, centrada em $ x = 0 $. Isso significa que vamos expressar $ f(x) $ como uma soma infinita de termos envolvendo potências de $ x $. Para isso, vamos usar a série geométrica básica, que diz:
Vamos adaptar essa série para nossa função $ f(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ f(x) = \frac{3}{1 - x^4} $ de uma forma que se pareça com a série geométrica básica. Observe que podemos escrever:
Isso porque estamos substituindo $ x $ por $ x^4 $ na série geométrica.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da série por 3, já que nossa função original tem um 3 no numerador:
Simplificando, temos a série de potências para $ f(x) $.
Passo 4
Para determinar o intervalo de convergência, precisamos verificar para quais valores de $ x $ a série converge. Da série geométrica básica, sabemos que ela converge quando:
Portanto, a série de potências que encontramos é válida para todos os $ x $ que satisfazem $ |x| < 1 $.
Resposta
A representação em série de potências para $ f(x) = \frac{3}{1 - x^4} $, centrada em $ x = 0 $, é:
E o intervalo de convergência da série é: