Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
o eixo
; em torno do eixo
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
,
e o eixo
em torno do eixo
. O conteúdo envolvido é o cálculo de volume por método de discos (seções transversais perpendiculares ao eixo de rotação). Vamos usar a relação
e integrar em
de 0 a 3.
Passo 2
Para cada valor de
entre 0 e 3, a região tem em
uma extensão de 0 até
. Ao girar em torno do eixo
, cada seção transversal é um disco de raio igual a
. Estamos usando o método de discos, onde a área de uma seção é dada por
.
Passo 3
Substituindo
na expressão de
, obtemos
Logo, o volume é
Passo 4
Fatorando
para fora da integral e calculando:
Portanto, o volume do sólido é
.