Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=raizx, y=3 o eixo y; em torno do eixo y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y=raizx, y=3 e o eixo y em torno do eixo y. O conteúdo envolvido é o cálculo de volume por método de discos (seções transversais perpendiculares ao eixo de rotação). Vamos usar a relação x=y^2 e integrar em y de 0 a 3.

Passo 2

Para cada valor de y entre 0 e 3, a região tem em x uma extensão de 0 até x=y^2. Ao girar em torno do eixo y, cada seção transversal é um disco de raio igual a R(y)=y^2. Estamos usando o método de discos, onde a área de uma seção é dada por A(y)=pi,[R(y)]^2.

Passo 3

Substituindo R(y)=y^2 na expressão de A(y), obtemos
A(y)=pi,(y^2)^2=pi,y^4
Logo, o volume é
V=integraly=0^3A(y),dy=integral0^3pi,y^4,dy .

Passo 4

Fatorando pi para fora da integral e calculando:
V=piintegral0^3y^4,dy=pi[y^55]0^3=picdot3^55=picdot2435 .
Portanto, o volume do sólido é 243pi5.

Resposta

243pi5

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