Encontre uma representação em série de potências para cada uma das funções a seguir, centrada em
, e determine o intervalo de convergência da série. (Dica: Lembre-se da série geométrica básica:
Utilize substituições e manipulações algébricas adequadas para reescrever cada função neste formato ou em derivadas/integradas dela.)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a série de potências centrada em 0 para a função
e achar o intervalo de convergência, usando como base a série geométrica
para
. Vamos precisar reescrever
num formato
ou em derivações integrações dele.
Passo 2
Escrevemos
de modo a isolar uma constante e obter um denominador no formato
:
Passo 3
Reconhecemos que
é uma série geométrica com
. Como
então basta substituir
.
Passo 4
Substituindo na expressão de
obtemos a série de potências:
Passo 5
Para determinar o intervalo de convergência, usamos a condição
, isto é: