Encontre uma representação em série de potências para cada uma das funções a seguir, centrada em x=0, e determine o intervalo de convergência da série. (Dica: Lembre-se da série geométrica básica:
11-x=sumn=0^infty x^n, para |x|<1
Utilize substituições e manipulações algébricas adequadas para reescrever cada função neste formato ou em derivadas/integradas dela.)
f(x)=1x+10

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de potências centrada em 0 para a função f(x)=1x+10 e achar o intervalo de convergência, usando como base a série geométrica 11-x=sumn=0^infty x^n para |x|<1. Vamos precisar reescrever f(x) num formato 1/(1-u) ou em derivações integrações dele.

Passo 2

Escrevemos f(x) de modo a isolar uma constante e obter um denominador no formato 1+x10:
f(x)=1x+10=110cdot11+tfracx10

Passo 3

Reconhecemos que 11+tfracx10 é uma série geométrica com u=-tfracx10. Como
11-u=sumn=0^infty u^n(,|u|<1,)
então basta substituir u=-tfracx10.

Passo 4

Substituindo na expressão de f(x) obtemos a série de potências:
1x+10=110sumn=0^infty l(-tfracx10r)^n =sumn=0^infty(-1)^nx^n10^n+1

Passo 5

Para determinar o intervalo de convergência, usamos a condição |u|<1, isto é:
l|tfracx10r|<1Longrightarrow |x|<10

Resposta

1x+10=sumn=0^infty(-1)^nx^n10^n+1,com convergência para |x|<10ê

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