Encontre uma representação em série de potências para cada uma das funções a seguir, centrada em x=0, e determine o intervalo de convergência da série. (Dica: Lembre-se da série geométrica básica:
11-x=sumn=0^infty x^n, para |x|<1
Utilize substituições e manipulações algébricas adequadas para reescrever cada função neste formato ou em derivadas/integradas dela.)
(f(x)=\frac{x}{9+x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede obter a expansão em série de potências de f(x)=x9+x^2 centrada em x=0. Vamos usar a série geométrica básica de 11 - x = sumn=0^infty x^n e suas variações, além de manipulações algébricas.

Passo 2

Reescrevemos a função de forma a ter um denominador no formato 1 + u. Observe que
f(x) = x9 + x^2 = x9l(1 + x^29r) = 19,x cdot 11 + x^29

Passo 3

Lembrando que
11+u = sumn=0^infty (-1)^n u^n, |u|<1,
podemos aplicar com u = x^29, válido se l|x^29r|<1.

Passo 4

Substituindo e multiplicando pelo fator tfrac19x, obtemos
19x sumn=0^infty (-1)^n l(x^29r)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+19^n+1

Passo 5

Para a convergência precisamos l|tfracx^29r|<1, ou seja |x|<3. Assim o intervalo de convergência é -3.

Resposta

sumn=0^infty (-1)^n x^2n+19^n+1, para |x|<3.

Exercícios relacionados