Encontre uma representação em série de potências para cada uma das funções a seguir, centrada em , e determine o intervalo de convergência da série. (Dica: Lembre-se da série geométrica básica:
Utilize substituições e manipulações algébricas adequadas para reescrever cada função neste formato ou em derivadas/integradas dela.)
(f(x)=\frac{x}{9+x^{2}}\
Passo 1
O enunciado pede obter a expansão em série de potências de centrada em . Vamos usar a série geométrica básica de e suas variações, além de manipulações algébricas.
Passo 2
Reescrevemos a função de forma a ter um denominador no formato . Observe que
Passo 3
Lembrando que
podemos aplicar com , válido se .
Passo 4
Substituindo e multiplicando pelo fator tfrac19x, obtemos