Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
(f) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 x+1)^{n}}{5 \sqrt[n]{n}}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x+1)^{n}}{5\sqrt[n]{n}}
e pede duas coisas:
\text{(i) o raio de convergência;}ê
\text{(ii) o intervalo de convergência (no eixo real).}ê
Informações relevantes que temos: a expressão do termo geral é \dfrac{(2x+1)^{n}}{5\,n^{1/n}}. Não há outras hipóteses explícitas sobre x, então assumimos x\in\mathbb{R}. A série é uma série de potências em torno de algum centro (a determinar).

Passo 2

Reescrevemos a série na forma padrão de série de potências, isolando (x-c)^n. Observo que
2x+1 = 2\Bigl(x+\tfrac{1}{2}\Bigr),
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(2x+1)^n = 2^n\Bigl(x+\tfrac{1}{2}\Bigr)^n.
Substituindo na série obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x+1)^{n}}{5\,n^{1/n}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{5\,n^{1/n}}\Bigl(x+\tfrac{1}{2}\Bigr)^n.
Portanto é uma série de potências centrada em c=-\tfrac{1}{2} com coeficientes
a_n=\frac{2^n}{5\,n^{1/n}}.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência R de uma série de potências \sum a_n (x-c)^n usamos a fórmula
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Aqui \displaystyle\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{2^n}{5\,n^{1/n}}}. Calculo essa raiz:
\sqrt[n]{|a_n|} = 2\cdot (5)^{-1/n}\cdot n^{-1/n^2}.
Agora passo ao limite quando n\to\infty. Sabemos (ou justificamos rapidamente) que \lim_{n\to\infty}5^{-1/n}=1 e que \lim_{n\to\infty}n^{-1/n^2}=1 porque \ln(5^{-1/n})=-\tfrac{\ln 5}{n}\to0 e \ln(n^{-1/n^2})=-\tfrac{\ln n}{n^2}\to0. Logo
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=2.
Portanto
R=\frac{1}{2}.

Passo 4

Interpretação geométrica: a série converge para os x tais que
\bigl|x+\tfrac{1}{2}\bigr|<R=\tfrac{1}{2}.
Isso se traduz no intervalo aberto (no eixo real)
-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2} < x < -\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2},
ou seja
-1<x<0.
Até aqui temos o raio R=\tfrac{1}{2} e a convergência em (-1,0); falta verificar o que acontece nos extremos x=-1 e x=0.

Passo 5

Análise dos extremos:
  • Para x=0:
2x+1=1 \quad\Rightarrow\quad \text{o termo geral} = \frac{1^n}{5\,n^{1/n}}=\frac{1}{5\,n^{1/n}}.
Como \lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{5\,n^{1/n}}=\frac{1}{5}\neq 0.
Uma condição necessária para a convergência de uma série é que o termo geral tenda a zero; aqui não tende a zero, portanto a série diverge em x=0.
  • Para x=-1:
2x+1=-1 \quad\Rightarrow\quad \text{o termo geral} = \frac{(-1)^n}{5\,n^{1/n}}.
O módulo do termo é \dfrac{1}{5\,n^{1/n}} e, novamente, \dfrac{1}{5\,n^{1/n}}\to \dfrac{1}{5}\neq0. Mesmo sendo alternada, a série não pode convergir porque os termos não tendem a zero. Logo a série diverge em x=-1.
Portanto ambos os extremos são excluídos do conjunto de convergência.

Passo 6

Conclusão final: o raio de convergência é R=\dfrac{1}{2} e o intervalo de convergência (no eixo real) é o intervalo aberto (-1,0), sem incluir os extremos.

Resposta

Raio de convergência: R=\dfrac{1}{2}
Intervalo de convergência: (-1,0)

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