\text{(ii) o intervalo de convergência (no eixo real).}
Informações relevantes que temos: a expressão do termo geral é \dfrac{(2x+1)^{n}}{5\,n^{1/n}}. Não há outras hipóteses explícitas sobre x, então assumimos x\in\mathbb{R}. A série é uma série de potências em torno de algum centro (a determinar).
Passo 2
Reescrevemos a série na forma padrão de série de potências, isolando (x-c)^n. Observo que
Agora passo ao limite quando n\to\infty. Sabemos (ou justificamos rapidamente) que \lim_{n\to\infty}5^{-1/n}=1 e que \lim_{n\to\infty}n^{-1/n^2}=1 porque \ln(5^{-1/n})=-\tfrac{\ln 5}{n}\to0 e \ln(n^{-1/n^2})=-\tfrac{\ln n}{n^2}\to0. Logo
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=2.
Portanto
R=\frac{1}{2}.
Passo 4
Interpretação geométrica: a série converge para os x tais que
\bigl|x+\tfrac{1}{2}\bigr|<R=\tfrac{1}{2}.
Isso se traduz no intervalo aberto (no eixo real)
-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2} < x < -\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2},
ou seja
-1<x<0.
Até aqui temos o raio R=\tfrac{1}{2} e a convergência em (-1,0); falta verificar o que acontece nos extremos x=-1 e x=0.
Passo 5
Análise dos extremos:
Para x=0:
2x+1=1 \quad\Rightarrow\quad \text{o termo geral} = \frac{1^n}{5\,n^{1/n}}=\frac{1}{5\,n^{1/n}}.
Uma condição necessária para a convergência de uma série é que o termo geral tenda a zero; aqui não tende a zero, portanto a série diverge em x=0.
Para x=-1:
2x+1=-1 \quad\Rightarrow\quad \text{o termo geral} = \frac{(-1)^n}{5\,n^{1/n}}.
O módulo do termo é \dfrac{1}{5\,n^{1/n}} e, novamente, \dfrac{1}{5\,n^{1/n}}\to \dfrac{1}{5}\neq0. Mesmo sendo alternada, a série não pode convergir porque os termos não tendem a zero. Logo a série diverge em x=-1.
Portanto ambos os extremos são excluídos do conjunto de convergência.
Passo 6
Conclusão final: o raio de convergência é R=\dfrac{1}{2} e o intervalo de convergência (no eixo real) é o intervalo aberto (-1,0), sem incluir os extremos.
Resposta
Raio de convergência: R=\dfrac{1}{2}
Intervalo de convergência: (-1,0)