Encontre uma representação em série de potências centrada em 0 para as funções abaixo e determine o raio e o intervalo de convergência das séries obtidas.
(c) f(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=\dfrac{1}{(1+x)^{2}}, centrada em 0:
Encontrar uma representação em série de potências centrada em 0 (ou seja, uma série da forma \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n que seja igual a f(x) para x em algum intervalo).
Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.
Informações dadas e importantes para usar:
A função é f(x)=\dfrac{1}{(1+x)^{2}}.
A série deve ser centrada em 0 (série de potências em x).
Não há outras restrições explícitas no enunciado.
Passo 2
Lembrando uma série muito útil que serve como ponto de partida: a série geométrica. Para |t|<1 vale
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}.
Aqui \,t é a variável da série geométrica; a fórmula diz que a soma infinita dos termos t^n (começando em n=0) converge para \dfrac{1}{1-t} quando |t|<1. Esta é uma identidade básica que vamos usar.
Se na fórmula acima fizermos t=-x, obtemos (válido quando |-x|=|x|<1):
\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}.
Aqui explique o que cada coisa significa: o lado esquerdo é \dfrac{1}{1+x} e o lado direito é a série de potências em x cujo termo geral é (-1)^n x^n.
Passo 3
Queremos \dfrac{1}{(1+x)^2}. Uma maneira prática é derivar ambos os lados da identidade anterior em relação a x. Antes de derivar, uma observação teórica curta (para justificar a operação): uma série de potências tem convergência uniforme em qualquer intervalo compacto contido no disco de convergência, e dentro desse disco podemos derivá-la termo a termo; portanto é válido derivar a série para |x|<1.
Agora determinamos o raio de convergência R. Tomamos o termo geral da série obtida como a_n x^n com a_n = (-1)^n(n+1). Para aplicar o teste da razão (ratio test) usamos os valores absolutos dos coeficientes:
O teste da razão diz que a série converge se esse limite for menor que 1. Portanto a série converge quando |x|<1. Assim o raio de convergência é
R=1.
Passo 6
Precisamos agora do intervalo de convergência (testar os extremos x=1 e x=-1).
Para x=1: a série vira
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1).
Os termos gerais (-1)^n(n+1) não tendem a zero (o módulo tende a +\infty), logo a série diverge. (Uma condição necessária para convergência de uma série é que o termo geral tenda a zero.)
pois (-1)^n\cdot(-1)^n=1. Essa é a soma dos inteiros crescentes (n+1), claramente divergente (os termos nem diminuem, muito menos tendem a zero).
Como em ambos os extremos a série diverge, o intervalo de convergência é estrito:
(-1,1).
Passo 7
Resumo rápido e incentivo: conseguimos a série derivando a série geométrica e reindexando, e determinamos convergência com o teste da razão e testes nos extremos. Se ficou alguma etapa confusa — por exemplo, por que podemos derivar termo a termo dentro do raio de convergência — posso explicar com mais calma e com um exemplo numérico. Você está indo bem; esse tipo de manipulação (usar a série geométrica e derivar/integrar) cai bastante em provas e é uma ferramenta poderosa.
Resposta
\displaystyle \frac{1}{(1+x)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)x^{n},\;|x|<1
Raio de convergência: \;R=1
Intervalo de convergência: \;(-1,1)