Encontre uma representação em série de potências centrada em 0 para as funções abaixo e determine o raio e o intervalo de convergência das séries obtidas.
(c) f(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=\dfrac{1}{(1+x)^{2}}, centrada em 0:
  1. Encontrar uma representação em série de potências centrada em 0 (ou seja, uma série da forma \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n que seja igual a f(x) para x em algum intervalo).
  2. Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.
Informações dadas e importantes para usar:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{(1+x)^{2}}.
  • A série deve ser centrada em 0 (série de potências em x).
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Lembrando uma série muito útil que serve como ponto de partida: a série geométrica. Para |t|<1 vale
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}.
Aqui \,t é a variável da série geométrica; a fórmula diz que a soma infinita dos termos t^n (começando em n=0) converge para \dfrac{1}{1-t} quando |t|<1. Esta é uma identidade básica que vamos usar.
Se na fórmula acima fizermos t=-x, obtemos (válido quando |-x|=|x|<1):
\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}.
Aqui explique o que cada coisa significa: o lado esquerdo é \dfrac{1}{1+x} e o lado direito é a série de potências em x cujo termo geral é (-1)^n x^n.

Passo 3

Queremos \dfrac{1}{(1+x)^2}. Uma maneira prática é derivar ambos os lados da identidade anterior em relação a x. Antes de derivar, uma observação teórica curta (para justificar a operação): uma série de potências tem convergência uniforme em qualquer intervalo compacto contido no disco de convergência, e dentro desse disco podemos derivá-la termo a termo; portanto é válido derivar a série para |x|<1.
Agora derivamos:
  • Derivada do lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x}\right)=-\frac{1}{(1+x)^{2}}.
  • Derivada do lado direito (derivando termo a termo):
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n x^{\,n-1}.
Repare que o termo n=0 some após a derivada porque é constante.
Assim, para |x|<1 temos
-\frac{1}{(1+x)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n x^{\,n-1}.

Passo 4

Multiplicando por -1 para obter \dfrac{1}{(1+x)^2}, temos
\frac{1}{(1+x)^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n x^{\,n-1}.
Agora é mais conveniente reindexar a soma para começar em n=0. Façamos a mudança k=n-1. Então n=k+1 e quando n=1 temos k=0. Substituindo:
\frac{1}{(1+x)^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} (k+1) x^{k}.
(Aqui usei que (-1)^{n+1}=(-1)^{k+2}=(-1)^k.)
Portanto a representação em série de potências centrada em 0 é
\frac{1}{(1+x)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)x^{n},\qquad |x|<1.
Se quiser ver os primeiros termos escritos explicitamente:
\frac{1}{(1+x)^{2}}=1-2x+3x^{2}-4x^{3}+5x^{4}-\cdots.

Passo 5

Agora determinamos o raio de convergência R. Tomamos o termo geral da série obtida como a_n x^n com a_n = (-1)^n(n+1). Para aplicar o teste da razão (ratio test) usamos os valores absolutos dos coeficientes:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_n x^n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1}\,|x| =|x|.
O teste da razão diz que a série converge se esse limite for menor que 1. Portanto a série converge quando |x|<1. Assim o raio de convergência é
R=1.

Passo 6

Precisamos agora do intervalo de convergência (testar os extremos x=1 e x=-1).
  • Para x=1: a série vira
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1).
Os termos gerais (-1)^n(n+1) não tendem a zero (o módulo tende a +\infty), logo a série diverge. (Uma condição necessária para convergência de uma série é que o termo geral tenda a zero.)
  • Para x=-1: a série vira
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)(-1)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1),
pois (-1)^n\cdot(-1)^n=1. Essa é a soma dos inteiros crescentes (n+1), claramente divergente (os termos nem diminuem, muito menos tendem a zero).
Como em ambos os extremos a série diverge, o intervalo de convergência é estrito:
(-1,1).

Passo 7

Resumo rápido e incentivo: conseguimos a série derivando a série geométrica e reindexando, e determinamos convergência com o teste da razão e testes nos extremos. Se ficou alguma etapa confusa — por exemplo, por que podemos derivar termo a termo dentro do raio de convergência — posso explicar com mais calma e com um exemplo numérico. Você está indo bem; esse tipo de manipulação (usar a série geométrica e derivar/integrar) cai bastante em provas e é uma ferramenta poderosa.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{(1+x)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)x^{n},\;|x|<1
Raio de convergência: \;R=1
Intervalo de convergência: \;(-1,1)

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