sendo que a série acima é conhecida como série binomial.
(a) Verifique que
f^{(n)}(0)=k(k-1) \cdot \ldots \cdot(k-n+1), \quad \forall n \geq 1
(b) Utilize o Teste da Razão para verificar que a série de Maclaurin de f(x) tem raio de convergência igual a 1 .
(c) Denote \binom{k}{n}=\frac{k(k-1) \cdot \ldots \cdot(k-n+1)}{n!} e considere
g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n} x^{n}
ou seja, g é a série de potências dada pela Série de Maclaurin de f. Verifique que
(1+x) g^{\prime}(x)=k g(x), \quad-1<x<1
Sugestão: observe que
(1+x) g^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\binom{k}{n} n x^{n-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n} n x^{n}
e faça n^{\prime}=n-1 na primeira soma para agrupar os termos que acompanham x^{n}.
(d) Considere h(x)=(1+x)^{-k} g(x). Verifique h^{\prime}(x)=0 e deduza que g(x)=f(x).
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=(1+x)^{k} com k\in\mathbb{R} fixo e pede que verifiquemos a expansão em série de Maclaurin (série binomial)
(b) Usar o Teste da Razão para verificar que a série de Maclaurin tem raio de convergência igual a 1.
(c) Definir \displaystyle \binom{k}{n}=\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!} e g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}x^{n}, e verificar que
(1+x)g^{\prime}(x)=k\,g(x),\quad -1<x<1.
(d) Considerar h(x)=(1+x)^{-k}g(x), mostrar que h^{\prime}(x)=0 e deduzir que g(x)=f(x) em (-1,1).
Informações relevantes fornecidas: expressão de f, definição de \binom{k}{n} como coeficientes de Maclaurin, e domínio pretendido |x|<1. Nesta etapa eu apenas enumerei o que é pedido e os dados — não comecei a calcular ainda.
Passo 2
(a) Vamos encontrar f^{(n)}(x) e em particular f^{(n)}(0). Primeiro uma regra clara: para m\in\mathbb{R},
\frac{d}{dx}(1+x)^{m}=m(1+x)^{m-1},
que é a regra da derivada de uma potência (aqui aplicada à função composta u(x)=1+x cuja derivada é 1). Aplique isso repetidamente:
Para n=1:
f'(x)=\frac{d}{dx}(1+x)^{k}=k(1+x)^{k-1},
logo
f'(0)=k(1+0)^{k-1}=k.
Agora suponha que, para algum n\ge1,
f^{(n)}(x)=k(k-1)\cdots(k-n+1)\,(1+x)^{k-n}.
Vou usar indução para passar para n+1. Diferenciando ambos os lados:
Observação didática curta: a sequência k(k-1)\cdots(k-n+1) é o chamado produto “cai-um” (falling factorial) e aparece naturalmente ao derivar potências com expoente real repetidas vezes.
Então a série é \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}x^n. Para determinar o raio de convergência aplicamos o Teste da Razão (diz: a série \sum a_n x^n converge absolutamente se \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right|<1).
Pelo Teste da Razão, a série converge se |x|<1 (pois o limite <1) e diverge se |x|>1. Logo o raio de convergência é 1.
Comentário breve: o teste não decide automaticamente o que ocorre em |x|=1 (caso limite =1), mas o enunciado pede apenas o raio, que é 1.
Passo 4
(c) Primeiro justificativa: dentro do raio de convergência (ou seja, para |x|<1) podemos derivar uma série de potências termo a termo; a série resultante converge no mesmo raio e representa a derivada da soma. Então
Agora junte as duas somas em uma única soma sobre m\ge0. Para o termo m=0 só aparece na primeira soma e é k\binom{k-1}{0}x^{0}=k. Para m\ge1 o coeficiente de x^{m} é
Usamos a identidade de Pascal válida também para coeficientes binomiais generalizados:
\binom{k-1}{m}+\binom{k-1}{m-1}=\binom{k}{m}.
(Para ver isso uma forma é escrever ambos os lados pela definição em fatoriais generalizados e verificar que se somam corretamente; a identidade é uma versão do princípio combinatório de Pascal que continua válida com expoente real quando os coeficientes são definidos pelo produto que já usamos.)
Portanto para m\ge1 o coeficiente de x^m fica k\binom{k}{m}, e para m=0 também dá k\binom{k}{0} (pois \binom{k}{0}=1). Assim
para todo -1<x<1, isto é, para |x|<1. Isso estabelece que a série de potências dada realmente representa f(x) naqueles x.
Resposta
(a) f^{(n)}(0)=k(k-1)\cdots(k-n+1),\\ \forall n\ge1.\n(b) O raio de convergência é 1.\n(c) (1+x)g^{\prime}(x)=k\,g(x),\quad -1<x<1.\n(d) g(x)=f(x)=(1+x)^{k} para |x|<1.