Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o intervalo de convergência. f(x)=\frac{2}{3-x}
Passo 1
O enunciado nos dá a função f(x)=\dfrac{2}{3-x} e pede duas coisas:
Encontrar uma representação em série de potências centrada em 0 (ou seja, escrever f(x) como \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n).
Determinar o intervalo de convergência dessa série.
Informações dadas: a expressão algébrica \dfrac{2}{3-x} (nenhuma outra informação adicional foi fornecida).
Passo 2
Estratégia (explicação do método que vou usar): vou tentar reescrever f(x) na forma da série geométrica conhecida. A série geométrica básica diz que, para uma quantidade r com |r|<1,
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^n.
Então o objetivo é manipular \dfrac{2}{3-x} para algo do tipo constante vezes \dfrac{1}{1-r} com r proporcional a x. Isso costuma ser o caminho mais simples e direto para funções racionais do tipo constante sobre linear.
Passo 3
Reescrevendo a função para enxergarmos a forma geométrica:
f(x)=\frac{2}{3-x}.
Coloca-se 3 em evidência no denominador:
f(x)=\frac{2}{3\left(1-\dfrac{x}{3}\right)}.
Agora isolamos a constante:
f(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{x}{3}}.
Passo 4
Recordando a série geométrica: para |r|<1 vale
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^n.
Explicando por que: os somatórios parciais S_N=\sum_{n=0}^{N} r^n têm fórmula fechada S_N=\dfrac{1-r^{N+1}}{1-r}. Se |r|<1 então r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, logo S_N\to\dfrac{1}{1-r}. A condição |r|<1 é essencial para que r^{N+1} vá para zero e a série convirja.
Passo 5
Aplicando a série geométrica com r=\dfrac{x}{3} (usando a forma obtida em
Passo 6
\frac{1}{1-\dfrac{x}{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{3}\right)^n, \qquad\text{válido quando }\left|\frac{x}{3}\right|<1.
Multiplicando por \dfrac{2}{3} obtemos a série para f(x):
Determinar o raio/intervalo de convergência: a condição para usar a série geométrica foi \left|\dfrac{x}{3}\right|<1. Isso é equivalente a
|x|<3.
Portanto o raio de convergência é R=3 e a série converge pelo menos para x no intervalo aberto (-3,3). Falta analisar os pontos extremos x=3 e x=-3.
Passo 8
Análise do ponto x=3: a função original tem
f(3)=\frac{2}{3-3}=\frac{2}{0},
ou seja, está indefinida (polo na borda). Se tentarmos na série,
\text{termo geral em }x=3:\quad \frac{2}{3^{n+1}}\,3^n=\frac{2}{3},
os termos não tendem a zero (são constantes iguais a \dfrac{2}{3}), logo a série diverge em x=3. Conclusão: ponto x=3 não entra no intervalo de convergência.
Passo 9
Análise do ponto x=-3: a função original toma o valor
f(-3)=\frac{2}{3-(-3)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},
ou seja, a função é finita em -3. Mas a série, ao substituir x=-3, tem termo geral
\frac{2}{3^{n+1}}(-3)^n=\frac{2}{3}\,(-1)^n.
Esses termos não tendem a zero (os termos alternam entre \pm \tfrac{2}{3}), portanto a série diverge em x=-3 também. Conclusão: o ponto x=-3 também não pertence ao conjunto de convergência da série.
Passo 10
Conclusão final: a série de potências centrada em 0 para f(x) é
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{3^{\,n+1}}\,x^n,
e o intervalo de convergência é o intervalo aberto (-3,3) (ambos os extremos x=\pm3 são excluídos).