Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Encontrar uma representação em série de potências centrada em
para a função . - Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações dadas:
- A função é
. - A série pedida deve ser em torno de
(ou seja, série de Maclaurin).
Passo 2
Vou começar lembrando uma série básica que nos permite obter a série da função inversa da tangente. A série da função geométrica é a seguinte: para
,
Essa expressão é só a expansão de
com
. A ideia é integrar termo a termo essa série em
para obter
, porque sabemos que
Passo 3
Integrando a série termo a termo de
até
(válido para
), obtemos a série de Maclaurin da função arctangente:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a variável de substituição (mais adiante será ); - o índice
percorre os inteiros não-negativos; - o termo geral é
.
Passo 4
Agora faço a substituição natural
na série de
. Substituindo, para
(isto é,
),
Expliquei:
.
Passo 5
Multiplico a série obtida por
para recuperar
:
Portanto o termo geral da série em potências de
é
. Para dar intuição, os primeiros termos (tomando
) são:
Passo 6
Agora determino o raio de convergência. Posso usar duas justificativas equivalentes:
-
Pela série de
sabemos que ela converge para . Como fizemos a substituição , a condição passa a ser , ou seja . Assim o raio de convergência em é . -
Alternativamente aplicando o teste da raiz à série obtida
com : calcula-se
Pelo teste da raiz a série converge se
, i.e.
. Logo o raio de convergência é
.
Passo 7
Comentário adicional (útil para prova): nos extremos
a série se torna condicionalmente convergente. Em
a série é
que converge (soma
), e em
a série soma
. Mas o raio (que era o pedido) é
.
Resposta
Raio de convergência: