Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o raio de convergência.
f(x)=x^{2} \operatorname{tg}^{-1}\left(x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Encontrar uma representação em série de potências centrada em 0 para a função f(x)=x^{2}\operatorname{tg}^{-1}\!\left(x^{3}\right).
  • Determinar o raio de convergência dessa série.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}\operatorname{tg}^{-1}\!\left(x^{3}\right).
  • A série pedida deve ser em torno de 0 (ou seja, série de Maclaurin).

Passo 2

Vou começar lembrando uma série básica que nos permite obter a série da função inversa da tangente. A série da função geométrica é a seguinte: para |t|<1,
\frac{1}{1+t^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}t^{2k}.
Essa expressão é só a expansão de 1/(1+z) com z=t^{2}. A ideia é integrar termo a termo essa série em t para obter \arctan(t), porque sabemos que
\frac{d}{dt}\bigl(\arctan(t)\bigr)=\frac{1}{1+t^{2}}.

Passo 3

Integrando a série termo a termo de 0 até u (válido para |u|<1), obtemos a série de Maclaurin da função arctangente:
\arctan(u)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{u^{2n+1}}{2n+1},\qquad |u|<1.
Aqui cada símbolo significa:
  • u é a variável de substituição (mais adiante será u=x^{3});
  • o índice n percorre os inteiros não-negativos;
  • o termo geral é (-1)^{n}\dfrac{u^{2n+1}}{2n+1}.

Passo 4

Agora faço a substituição natural u=x^{3} na série de \arctan(u). Substituindo, para |x^{3}|<1 (isto é, |x|<1),
\arctan(x^{3})=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(x^{3})^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{6n+3}}{2n+1}.
Expliquei: (x^{3})^{2n+1}=x^{3(2n+1)}=x^{6n+3}.

Passo 5

Multiplico a série obtida por x^{2} para recuperar f(x):
f(x)=x^{2}\arctan(x^{3})=x^{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{6n+3}}{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{6n+5}}{2n+1}.
Portanto o termo geral da série em potências de x é (-1)^{n}\dfrac{x^{6n+5}}{2n+1}. Para dar intuição, os primeiros termos (tomando n=0,1,2) são:
f(x)=\frac{x^{5}}{1}-\frac{x^{11}}{3}+\frac{x^{17}}{5}-\cdots.

Passo 6

Agora determino o raio de convergência. Posso usar duas justificativas equivalentes:
  1. Pela série de \arctan(u) sabemos que ela converge para |u|<1. Como fizemos a substituição u=x^{3}, a condição passa a ser |x^{3}|<1, ou seja |x|<1. Assim o raio de convergência em x é R=1.
  2. Alternativamente aplicando o teste da raiz à série obtida \sum_{n=0}^{\infty}a_{n} com a_{n}=(-1)^{n}\dfrac{x^{6n+5}}{2n+1}: calcula-se
\lim_{n\to\infty}|a_{n}|^{1/n} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{|x|^{6n+5}}{2n+1}\right)^{1/n} =|x|^{6}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{5/n}}{(2n+1)^{1/n}} =|x|^{6}.
Pelo teste da raiz a série converge se |x|^{6}<1, i.e. |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 7

Comentário adicional (útil para prova): nos extremos |x|=1 a série se torna condicionalmente convergente. Em x=1 a série é \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{1}{2n+1} que converge (soma \pi/4), e em x=-1 a série soma -\pi/4. Mas o raio (que era o pedido) é 1.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{6n+5}}{2n+1}
Raio de convergência: R=1

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