Questão 7 Considere a série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}.
(a) Encontre seu raio de convergência.
(b) Defina f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}. Mostre que f(x)=f^{\prime}(x).
(c) Mostre que e^{-x} f(x) é constante (Sugestão: com a ajuda de (b) mostre que a derivada é 0).
(d) Mostre que e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} (Sugestão: Use que f(0)=1 ).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos. O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}
e pede quatro coisas:
(a) encontrar o raio de convergência dessa série;
(b) definir f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} e mostrar que f(x)=f^{\prime}(x);
(c) mostrar que e^{-x}f(x) é constante (a sugestão diz para usar (b) e mostrar que a derivada é zero);
(d) mostrar que e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} (sugerem usar que f(0)=1).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A série é centrada em 0 e os coeficientes são a_n=\dfrac{1}{n!}.
  • A função f está definida pela soma dessa série de potências.
  • Em (c) e (d) aparece a função exponencial e^{x}; a sugestão indica relacionar f com a função exponencial através de f(0).

Passo 2

Vamos encontrar o raio de convergência. Recordando rápido (sem jargão): o raio de convergência R da série \sum a_n x^n é o número tal que a série converge para todo x com |x|<R e diverge para |x|>R. Uma forma prática de calcular R é usar o teste da razão (d’Alembert): calcular
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right|
e concluir que a série converge se L<1 e diverge se L>1.
Aqui a_n=\dfrac{1}{n!}. Vamos aplicar o teste da razão.

Passo 3

Calculo do limite do teste da razão para nossa série:
\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right| =|x|\cdot\frac{1/(n+1)!}{1/n!} =|x|\cdot\frac{1}{n+1}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}|x|\cdot\frac{1}{n+1}=|x|\cdot 0 = 0.
Como esse limite é 0 (menor que 1) para todo x\in\mathbb{R}, a série converge para todo x. Logo o raio de convergência é infinito:
R=\infty.
Breve comentário pedagógico: isso significa que não há restrição no valor de x; a série converge para qualquer x real (e também complexos).

Passo 4

Agora vamos mostrar que podemos diferenciar termo a termo e que a derivada produz a mesma série. Resultado usado (explicação intuitiva): dentro do disco de convergência de uma série de potências, pode-se diferenciar (e integrar) termo a termo, e a série resultante tem o mesmo raio de convergência. Como já mostramos R=\infty, podemos diferenciar termo a termo para todo x.
Aplicando a diferenciação termo a termo a
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},
obtemos (cada passo em TeX):
f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n}}{n!}\right) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n x^{\,n-1}}{n!}.
Note que o termo n=0 tem derivada zero, por isso a soma começa em n=1.

Passo 5

Simplificamos os coeficientes no somatório:
\frac{n x^{\,n-1}}{n!}=\frac{x^{\,n-1}}{(n-1)!}.
Logo
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{\,n-1}}{(n-1)!}.
Agora fazemos a mudança de índice m=n-1. Quando n=1 temos m=0, e quando n\to\infty temos m\to\infty. Substituindo:
f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{m}}{m!}.
Mas essa soma é exatamente f(x). Portanto concluímos
f'(x)=f(x)
para todo x. Esse é o resultado pedido em (b).
Comentário didático: o passo chave foi a diferenciação termo a termo (permitida porque a série converge para todo x) e a simples mudança de índice que mostra a série derivada coincide com a original.

Passo 6

Agora (c): mostrar que e^{-x}f(x) é constante. Definimos a função
g(x)=e^{-x}f(x).
Calculamos g'(x) usando a regra do produto (lembrando: toda notação matemática em TeX):
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{-x}\big)\cdot f(x)+e^{-x}\cdot f'(x).
Sabemos \dfrac{d}{dx}\big(e^{-x}\big)=-e^{-x} e do passo anterior que f'(x)=f(x). Substituindo:
g'(x)=-e^{-x}f(x)+e^{-x}f'(x)=e^{-x}\big(f'(x)-f(x)\big).
Mas f'(x)-f(x)=0 (pelo passo anterior), logo
g'(x)=0.
Se a derivada de g é zero em todo lugar, então g é constante. Assim e^{-x}f(x) é constante para todo x, como queríamos mostrar.

Passo 7

Para identificar qual é essa constante usamos f(0). Calculamos
f(0)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{0^{n}}{n!}.
Aqui o termo n=0 é \dfrac{0^{0}}{0!}, que por convenção na série de potências vale 1 (ou equivalentemente x^{0}/0! = 1 para todo x). Para n\ge 1, 0^{n}=0, então todos esses termos são zero. Portanto
f(0)=1.
Como g(x)=e^{-x}f(x) é constante e g(0)=e^{0}f(0)=1, segue que g(x)\equiv 1 para todo x. Ou seja,
e^{-x}f(x)=1\quad\text{para todo }x.
Rearranjando:
f(x)=e^{x}\quad\text{para todo }x.

Passo 8

Conclusão final para (d). A igualdade f(x)=e^{x} significa exatamente que
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}
para todo x. Explicando a lógica em palavras (sem pular etapas): mostramos que f converge para todo x, que f satisfaz a equação diferencial f'=f, que e^{-x}f(x) é constante e igual a 1 porque f(0)=1; daí f(x)=e^{x} para todo x. Assim a série dada representa a função exponencial.

Resposta

(a) R=\infty.
(b) f'(x)=f(x).
(c) e^{-x}f(x) é constante (e vale 1).
(d) e^{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}.

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