Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o raio de convergência. f(x)=\left(\frac{x}{2-x}\right)^{3}
Passo 1
O enunciado pede uma representação em série de potências centrada em 0 (série de Maclaurin) para a função
f(x)=\left(\frac{x}{2-x}\right)^{3},
e também pede o raio de convergência dessa série.
Informações dadas:
A função é \displaystyle f(x)=\left(\frac{x}{2-x}\right)^{3}.
A série deve ser centrada em 0.
É preciso determinar o raio de convergência.
Passo 2
Primeira ideia: transformar a função numa forma que permita usar a série geométrica. Vamos manipular algebraicamente \displaystyle f(x).
Explicando: coloquei \dfrac{x}{2-x}=\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{1}{1-(x/2)} porque \dfrac{1}{2-x}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1-(x/2)}. Aqui introduzi a variável auxiliar t=\dfrac{x}{2}, que é conveniente para usar a série geométrica.
Agora temos um fator \left(\dfrac{x}{2}\right)^{3} multiplicando \dfrac{1}{(1-t)^{3}} com t=\dfrac{x}{2}.
Passo 3
Vamos obter a série para \dfrac{1}{(1-t)^{3}} em termos de t. Uma forma direta é usar a expansão binomial generalizada (ou reconhecer uma identidade conhecida):
Breve justificativa didática: a expansão de (1-t)^{-3} pelo teorema binomial generalizado dá coeficientes \binom{-3}{n}(-t)^n. Usando a identidade \binom{-3}{n}=(-1)^n\binom{n+2}{2}, os sinais se cancelam e obtemos o coeficiente positivo \binom{n+2}{2}. Outra forma de ver é partir de \dfrac{1}{1-t}=\sum_{n\ge0}t^n e diferenciar adequadamente para chegar em (1-t)^{-3}; o resultado é o mesmo.
Isso já é uma série de potências centrada em 0. Para escrever com o expoente habitual x^{k} (índice começando em k=3), faça a troca k=n+3. Assim, para k\ge 3 (ou seja, n=k-3):