Encontre uma representação em série de potências centradas em 0 para as funções e determine o raio de convergência.
f(x)=\left(\frac{x}{2-x}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede uma representação em série de potências centrada em 0 (série de Maclaurin) para a função
f(x)=\left(\frac{x}{2-x}\right)^{3},
e também pede o raio de convergência dessa série.
Informações dadas:
  • A função é \displaystyle f(x)=\left(\frac{x}{2-x}\right)^{3}.
  • A série deve ser centrada em 0.
  • É preciso determinar o raio de convergência.

Passo 2

Primeira ideia: transformar a função numa forma que permita usar a série geométrica. Vamos manipular algebraicamente \displaystyle f(x).
Reescrevendo o denominador:
\frac{x}{2-x}=\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{x}{2}}.
Explicando: coloquei \dfrac{x}{2-x}=\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{1}{1-(x/2)} porque \dfrac{1}{2-x}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1-(x/2)}. Aqui introduzi a variável auxiliar t=\dfrac{x}{2}, que é conveniente para usar a série geométrica.
Então
f(x)=\left(\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{x}{2}}\right)^{3}=\left(\frac{x}{2}\right)^{3}\cdot\frac{1}{\left(1-\dfrac{x}{2}\right)^{3}}.
Agora temos um fator \left(\dfrac{x}{2}\right)^{3} multiplicando \dfrac{1}{(1-t)^{3}} com t=\dfrac{x}{2}.

Passo 3

Vamos obter a série para \dfrac{1}{(1-t)^{3}} em termos de t. Uma forma direta é usar a expansão binomial generalizada (ou reconhecer uma identidade conhecida):
Fórmula útil (binomial generalizado):
(1-t)^{-3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+2}{2}t^{n},
onde
\binom{n+2}{2}=\frac{(n+2)(n+1)}{2}.
Breve justificativa didática: a expansão de (1-t)^{-3} pelo teorema binomial generalizado dá coeficientes \binom{-3}{n}(-t)^n. Usando a identidade \binom{-3}{n}=(-1)^n\binom{n+2}{2}, os sinais se cancelam e obtemos o coeficiente positivo \binom{n+2}{2}. Outra forma de ver é partir de \dfrac{1}{1-t}=\sum_{n\ge0}t^n e diferenciar adequadamente para chegar em (1-t)^{-3}; o resultado é o mesmo.
Portanto, substituindo t=\dfrac{x}{2},
\frac{1}{\left(1-\dfrac{x}{2}\right)^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+2}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^{n},
válido enquanto \left|\dfrac{x}{2}\right|<1 (condição de convergência da série geométrica generalizada).

Passo 4

Multiplicando pela fator \left(\dfrac{x}{2}\right)^{3} que ficou fora, obtemos a série para f(x):
f(x)=\left(\frac{x}{2}\right)^{3}\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+2}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+2}{2}\frac{x^{n+3}}{2^{n+3}}.
Isso já é uma série de potências centrada em 0. Para escrever com o expoente habitual x^{k} (índice começando em k=3), faça a troca k=n+3. Assim, para k\ge 3 (ou seja, n=k-3):
f(x)=\sum_{k=3}^{\infty}\binom{k-1}{2}\frac{x^{k}}{2^{k}} =\sum_{k=3}^{\infty}\frac{(k-1)(k-2)}{2^{k+1}}\,x^{k}.
Explicando cada símbolo:
  • k é o índice da soma, variando de 3 até infinito.
  • \binom{k-1}{2}=\dfrac{(k-1)(k-2)}{2} é o coeficiente combinado que veio da expansão de (1-t)^{-3}.
  • O fator 2^{k} (ou 2^{k+1} no segundo formato) aparece por 2^{n+3}=2^{k} e pelo /\!2 na expressão de \binom{k-1}{2}.

Passo 5

Para ficar mais concreto, aqui estão os primeiros termos explícitos da série (substituindo n=0,1,2,3 na expressão anterior):
  • n=0 (ou k=3): coeficiente \binom{2}{2}=1 → termo \dfrac{x^{3}}{2^{3}}=\dfrac{x^{3}}{8}.
  • n=1 (ou k=4): coeficiente \binom{3}{2}=3 → termo \dfrac{3x^{4}}{2^{4}}=\dfrac{3x^{4}}{16}.
  • n=2 (ou k=5): coeficiente \binom{4}{2}=6 → termo \dfrac{6x^{5}}{2^{5}}=\dfrac{3x^{5}}{16}.
  • n=3 (ou k=6): coeficiente \binom{5}{2}=10 → termo \dfrac{10x^{6}}{2^{6}}=\dfrac{5x^{6}}{32}.
Assim,
f(x)=\frac{x^{3}}{8}+\frac{3x^{4}}{16}+\frac{3x^{5}}{16}+\frac{5x^{6}}{32}+\cdots

Passo 6

Raio de convergência: a expansão veio da série de (1-t)^{-3} em t=\dfrac{x}{2}, cuja condição de convergência é |t|<1. Logo
\left|\frac{x}{2}\right|<1\quad\Longrightarrow\quad |x|<2.
Portanto o raio de convergência é R=2.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+2}{2}\frac{x^{n+3}}{2^{n+3}} =\sum_{k=3}^{\infty}\frac{(k-1)(k-2)}{2^{k+1}}\,x^{k}
R=2

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