( 8 pontos) Determine o raio e o intervalo de convergência das séries:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a série
- Determinar o raio de convergência.
- Determinar o intervalo (ou conjunto) de convergência em termos de
.
Informações dadas e observações imediatas:
- A série é uma série de potências centrada em
, pois aparece a potência . - Os coeficientes da potência são
- O que falta decidir é para quais valores de
a série converge — primeiro o raio (abertura do intervalo) e depois o comportamento nos pontos extremos onde .
Passo 2
Conceito que vou usar (explicando devagar): para uma série de potências da forma
o raio de convergência
é dado pela fórmula de Cauchy–Hadamard
O significado: calcula-se a taxa de decaimento dos coeficientes
. Se
tende a um número
, então
. Vou aplicar isso aos nossos
.
Passo 3
Calcular
para
.
Escrevendo
Agora analisar
. Tomando logaritmo:
Como
, segue que
portanto
Assim
Passo 4
Determinar o raio
usando a fórmula:
Interpretação prática: a série converge, no máximo, para os
tais que
.
Passo 5
Escrever o intervalo aberto de convergência (a partir de
):
Agora é preciso testar os dois pontos extremos
e
, porque o raio só deu a largura; nos extremos a série pode convergir ou divergir.
Passo 6
Teste no extremo
:
Substituindo na série,
Substituindo
Essa é a série harmônica, conhecida por divergir. Logo a série diverge em
.
Passo 7
Teste no extremo
:
Substituindo ,
Substituindo
Esta é a série alternada
.
Aplicando o critério de Leibniz (teste da série alternada): se
é uma sequência positiva, decrescente e com
, então
converge. Aqui
é positiva, decrescente e tende a
. Portanto a série converge em
.
Observação sobre tipo de convergência: a série absoluta em
é
, que diverge; logo a convergência em
é condicional (não é absoluta).
Passo 8
Conclusão final combinando tudo:
- Raio de convergência
. - A série converge para
com inclusão apenas do extremo (convergência condicional) e exclusão de (diverge).
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: