( 8 pontos) Determine o raio e o intervalo de convergência das séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+3)^{n}}{n 3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+3)^{n}}{n\,3^{n}}:
  • Determinar o raio de convergência.
  • Determinar o intervalo (ou conjunto) de convergência em termos de x.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A série é uma série de potências centrada em -3, pois aparece a potência (x+3)^{n}.
  • Os coeficientes da potência são
c_n=\frac{1}{n\,3^{n}}\quad\text{para }n\ge 1.
  • O que falta decidir é para quais valores de x a série converge — primeiro o raio (abertura do intervalo) e depois o comportamento nos pontos extremos onde |x+3|=R.

Passo 2

Conceito que vou usar (explicando devagar): para uma série de potências da forma
\sum_{n=1}^{\infty} c_n (x-x_0)^n,
o raio de convergência R é dado pela fórmula de Cauchy–Hadamard
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n}.
O significado: calcula-se a taxa de decaimento dos coeficientes c_n. Se |c_n|^{1/n} tende a um número L, então R=1/L. Vou aplicar isso aos nossos c_n.

Passo 3

Calcular \limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n} para c_n=\dfrac{1}{n\,3^{n}}.
Escrevendo
|c_n|^{1/n}=\left(\frac{1}{n\,3^{n}}\right)^{1/n}=\frac{1}{3}\,n^{-1/n}.
Agora analisar n^{-1/n}. Tomando logaritmo:
\ln\big(n^{-1/n}\big)=-\frac{\ln n}{n}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0, segue que
\lim_{n\to\infty}\ln\big(n^{-1/n}\big)=0,
portanto
\lim_{n\to\infty} n^{-1/n}=e^{0}=1.
Assim
\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3}\,n^{-1/n}=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}.

Passo 4

Determinar o raio R usando a fórmula:
\frac{1}{R}=\frac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad R=3.
Interpretação prática: a série converge, no máximo, para os x tais que |x+3|<3.

Passo 5

Escrever o intervalo aberto de convergência (a partir de |x+3|<3):
|x+3|<3 \quad\Longleftrightarrow\quad -3-3<x<-3+3 \quad\Longleftrightarrow\quad -6<x<0.
Agora é preciso testar os dois pontos extremos x=-6 e x=0, porque o raio só deu a largura; nos extremos a série pode convergir ou divergir.

Passo 6

Teste no extremo x=0:
Substituindo x=0 na série,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(0+3)^n}{n\,3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n\,3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Essa é a série harmônica, conhecida por divergir. Logo a série diverge em x=0.

Passo 7

Teste no extremo x=-6:
Substituindo x=-6,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-6+3)^n}{n\,3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-3)^n}{n\,3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}.
Esta é a série alternada \sum_{n=1}^\infty (-1)^n/n.
Aplicando o critério de Leibniz (teste da série alternada): se b_n é uma sequência positiva, decrescente e com \lim_{n\to\infty} b_n=0, então \sum (-1)^n b_n converge. Aqui b_n=1/n é positiva, decrescente e tende a 0. Portanto a série converge em x=-6.
Observação sobre tipo de convergência: a série absoluta em x=-6 é \sum |(-1)^n/n|=\sum 1/n, que diverge; logo a convergência em x=-6 é condicional (não é absoluta).

Passo 8

Conclusão final combinando tudo:
  • Raio de convergência R=3.
  • A série converge para -6\le x<0 com inclusão apenas do extremo x=-6 (convergência condicional) e exclusão de x=0 (diverge).

Resposta

Raio de convergência: 3
Intervalo de convergência: [-6,0)

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