Em cada um dos itens abaixo, responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). No caso de ser verdadeira, esboce as idéias de uma demonstração e, se for falsa, dê um contra-exemplo.
( ) x=(1+raiz2)(1-raiz2)^-1+2 raiz2 é irracional.

Passo 1

O enunciado pergunta se o número
x = (1+raiz2)(1-raiz2)^-1 + 2raiz2
é irracional. Vamos usar racionalização de denominador para simplificar e ver do que se trata.

Passo 2

Precisamos racionalizar o quociente
1+raiz21-raiz2
Multiplicamos numerador e denominador por 1+raiz2:
1+raiz21-raiz2 = (1+raiz2)^2(1-raiz2)(1+raiz2)
Sabendo que (1+raiz2)^2 = 1 + 2raiz2 + 2 = 3 + 2raiz2 e que (1-raiz2)(1+raiz2) = 1 - 2 = -1, segue que
1+raiz21-raiz2 = 3+2raiz2-1 = -3 - 2raiz2

Passo 3

Agora voltamos a x:
x = -3 - 2raiz2 + 2raiz2 = -3
Isso mostra que x é exatamente -3, um número racional.

Passo 4

Como o valor de x é -3 (pertencente a Q), a afirmação “ x é irracional” é falsa. Um contra-exemplo já é o próprio cálculo que mostra x=-3.

Resposta

Falsa, pois x = -3 é racional.

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