Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
3. f(x)=11+x
4. f(x)=31-x^4
5. f(x)=23-x
6. f(x)=1x+10
7. f(x)=x9+x^2
8. f(x)=x2 x^2+1
9. f(x)=1+x1-x
10. f(x)=x^2a^3-x^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos séries de potências para várias funções racionais usando expansões geométricas e, em seguida, determinar os seus intervalos de convergência. O conteúdo principal aqui é a série geométrica, cuja forma básica é 1/(1–r) = ∑_{n=0}^∞ r^n, válida para |r|<1.

Passo 2

Recordando a série geométrica: para qualquer r, temos
11 - r = sumn=0^infty r^n,
e ela converge se, e somente se, |r|<1.

Passo 3

Para f(x)=1/(1+x), note que 1+x = 1 - (–x), então
11+x = 11 - (-x) = sumn=0^infty (-x)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^n,
o que converge quando |–x|<1, ou seja, |x|<1.

Passo 4

Para f(x)=3/(1–x^4), use r=x^4 na série geométrica:
31 - x^4 = 3 sumn=0^infty (x^4)^n = sumn=0^infty 3,x^4n,
com convergência para |x^4|<1 ⇒ |x|<1.

Passo 5

Para f(x)=2/(3–x), coloque em forma 1/(1–r):
23 - x = 23 cdot 11 - x/3 = 23 sumn=0^infty l(x3r)^n = sumn=0^infty 23^n+1 x^n,
válido para |x/3|<1 ⇒ |x|<3.

Passo 6

Para f(x)=1/(x+10), faça 1/(10(1 + x/10)):
1x+10 = 110 cdot 11 + x/10 = 110 sumn=0^infty (-1)^n l(x10r)^n = sumn=0^infty (-1)^n10^n+1 x^n,
com |x/10|<1 ⇒ |x|<10.

Passo 7

Para f(x)=x/(9+x^2), ponha em forma 1/(1–r):
x9 + x^2 = x9 cdot 11 + x^2/9 = x9 sumn=0^infty (-1)^n l(x^29r)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+19^n+1,
quando |x^2/9|<1 ⇒ |x|<3.

Passo 8

Para f(x)=x/(2x^2+1), escreva 1/(1–r) com r=–2x^2:
x2x^2 + 1 = x cdot 11 + 2x^2 = x sumn=0^infty (-1)^n (2x^2)^n = sumn=0^infty (-1)^n 2^n x^2n+1,
válido para |2x^2|<1 ⇒ |x|<\tfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 9

Para f(x)=(1+x)/(1–x), separe em duas séries:
1+x1 - x = 11 - x + x1 - x = sumn=0^infty x^n + sumn=0^infty x^n+1
Somando termos iguais obtemos
1 + 2sumn=1^infty x^n = 1 + 2(x + x^2 + x^3 + cdots),
com |x|<1.

Passo 10

Para f(x)=x2/(a3 - x^3), use r=x3/a3:
x^2a^3 - x^3 = x^2a^3 cdot 11 - x^3/a^3 = x^2a^3 sumn=0^infty l(x^3a^3r)^n = sumn=0^infty x^2+3na^3(n+1),
com convergência para |x3/a3|<1 ⇒ |x|<|a|.

Resposta

As expansões em séries de potências e seus intervalos de convergência são:
f(x)=1/(1+x):
sumn=0^infty (-1)^n x^n, converge para |x|<1.
f(x)=3/(1–x^4):
sumn=0^infty 3,x^4n, converge para |x|<1.
f(x)=2/(3–x):
sumn=0^infty 23^n+1 x^n, converge para |x|<3.
f(x)=1/(x+10):
sumn=0^infty (-1)^n10^n+1 x^n, converge para |x|<10.
f(x)=x/(9+x^2):
sumn=0^infty (-1)^n x^2n+19^n+1, converge para |x|<3.
f(x)=x/(2x^2+1):
sumn=0^infty (-1)^n 2^n x^2n+1, converge para |x|<1/\sqrt{2}.
f(x)=(1+x)/(1–x):
1 + 2sumn=1^infty x^n, converge para |x|<1.
f(x)=x2/(a3–x^3):
sumn=0^infty x^2+3na^3(n+1), converge para |x|<|a|.

Exercícios relacionados