Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
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Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos séries de potências para várias funções racionais usando expansões geométricas e, em seguida, determinar os seus intervalos de convergência. O conteúdo principal aqui é a série geométrica, cuja forma básica é 1/(1–r) = ∑_{n=0}^∞ r^n, válida para |r|<1.
Passo 2
Recordando a série geométrica: para qualquer r, temos
e ela converge se, e somente se, |r|<1.
Passo 3
Para f(x)=1/(1+x), note que 1+x = 1 - (–x), então
o que converge quando |–x|<1, ou seja, |x|<1.
Passo 4
Para f(x)=3/(1–x^4), use r=x^4 na série geométrica:
com convergência para |x^4|<1 ⇒ |x|<1.
Passo 5
Para f(x)=2/(3–x), coloque em forma 1/(1–r):
válido para |x/3|<1 ⇒ |x|<3.
Passo 6
Para f(x)=1/(x+10), faça 1/(10(1 + x/10)):
com |x/10|<1 ⇒ |x|<10.
Passo 7
Para f(x)=x/(9+x^2), ponha em forma 1/(1–r):
quando |x^2/9|<1 ⇒ |x|<3.
Passo 8
Para f(x)=x/(2x^2+1), escreva 1/(1–r) com r=–2x^2:
válido para |2x^2|<1 ⇒ |x|<\tfrac{1}{\sqrt{2}}.
Passo 9
Para f(x)=(1+x)/(1–x), separe em duas séries:
Somando termos iguais obtemos
com |x|<1.
Passo 10
Para f(x)=x2/(a3 - x^3), use r=x3/a3:
com convergência para |x3/a3|<1 ⇒ |x|<|a|.
Resposta
As expansões em séries de potências e seus intervalos de convergência são:
f(x)=1/(1+x):
f(x)=3/(1–x^4):
f(x)=2/(3–x):
f(x)=1/(x+10):
f(x)=x/(9+x^2):
f(x)=x/(2x^2+1):
f(x)=(1+x)/(1–x):
f(x)=x2/(a3–x^3):