Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva as seguintes edos.
Passo 1
Vamos resolver a EDO
usando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo é equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo senoidal. Para isso, vamos: (a) achar a solução geral da parte homogênea; (b) propor um palpite para a solução particular; © ajustar os coeficientes; (d) juntar tudo.
Passo 2
Para a parte homogênea associada, consideramos
. Montamos a equação característica:
Essa equação fatorada fica
de onde saem as raízes
e
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Agora vamos ao palpite da solução particular. Como o segundo membro é
, e isso não aparece na solução homogênea (não há raízes imaginárias
), usamos
Esse é o método dos coeficientes indeterminados: a gente “chuta” uma combinação de cosseno e seno.
Passo 4
Precisamos das derivadas de
. Calculando:
Substituindo em
:
Agrupando,
Passo 5
Igualamos ao lado direito
:
Comparando coeficientes, vem:
Passo 6
Por fim, juntamos a parte homogênea com a particular para ter a solução geral:
Resposta
y(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-x} + C_{3}e^{2x} + C_{4}e^{-2x} + \frac{1}{10}\sin(x)