Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva as seguintes edos.
y^(4)-5 y^prime prime+4 y=sen(x)

Passo 1

Vamos resolver a EDO y^(4) - 5y'' + 4y = sin(x) usando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo é equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo senoidal. Para isso, vamos: (a) achar a solução geral da parte homogênea; (b) propor um palpite para a solução particular; © ajustar os coeficientes; (d) juntar tudo.

Passo 2

Para a parte homogênea associada, consideramos y^(4) - 5y'' + 4y = 0. Montamos a equação característica:
r^4 - 5r^2 + 4 = 0
Essa equação fatorada fica
(r^2 - 1)(r^2 - 4) = 0,
de onde saem as raízes r=pm1 e r=pm2. Logo a solução geral homogênea é
yh(x) = C1e^x + C2e^-x + C3e^2x + C4e^-2x

Passo 3

Agora vamos ao palpite da solução particular. Como o segundo membro é sin(x), e isso não aparece na solução homogênea (não há raízes imaginárias pm i), usamos
yp(x) = Acos(x) + Bsin(x)
Esse é o método dos coeficientes indeterminados: a gente “chuta” uma combinação de cosseno e seno.

Passo 4

Precisamos das derivadas de yp. Calculando:
yp = Acos x + Bsin x, yp'' = -Acos x - Bsin x, yp^(4) = yp = Acos x + Bsin x
Substituindo em y^(4) - 5y'' + 4y:
LHS = yp^(4) - 5yp'' + 4yp = (Acos x + Bsin x) - 5(-Acos x - Bsin x) + 4(Acos x + Bsin x)
Agrupando,
LHS = (1 + 5 + 4)(Acos x + Bsin x) = 10Acos x + 10Bsin x

Passo 5

Igualamos ao lado direito sin x:
10Acos x + 10Bsin x = 0cdotcos x + 1cdotsin x
Comparando coeficientes, vem:
10A = 0 implies A = 0, 10B = 1 implies B = tfrac110

Passo 6

Por fim, juntamos a parte homogênea com a particular para ter a solução geral:
y(x) = C1e^x + C2e^-x + C3e^2x + C4e^-2x + 110sin x

Resposta

y(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-x} + C_{3}e^{2x} + C_{4}e^{-2x} + \frac{1}{10}\sin(x)

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