(a) O que é uma sequência convergente?
(b) O que é uma série convergente?
© O que significa
?
(d) O que significa
?
(b) O que é uma série convergente?
© O que significa
(d) O que significa
Passo 1
O enunciado pede para definir conceitos de sequência e série convergente e interpretar expressões de limite e soma infinita. Vamos usar teoria de limites em análise matemática para responder cada item.
Passo 2
Uma sequência $a_n$ é convergente se existe um número L tal que, à medida que n cresce sem limite, os termos a_n se aproximam arbitrariamente de L. Formalmente dizemos que $(a_n)$ converge para L se, para todo $\varepsilon>0$, existe $N$ tal que $|a_n - L|<\varepsilon$ sempre que $n\ge N$.
Uma série é convergente quando a sequência de suas somas parciais $(S_N)$, onde $S_N=\sum_{n=1}^N a_n$, converge para um valor finito S. Ou seja, existe S tal que, para todo $\varepsilon>0$, existe $N$ com $|S_N - S|<\varepsilon$ sempre que $N$ for maior.
Uma série
Passo 3
A expressão $\lim_{n\to\infty} a_n = 3$ significa que os termos da sequência $a_n$ ficam cada vez mais próximos de 3 quando n cresce. Em outras palavras, para qualquer $\varepsilon>0$ existe $N$ tal que $|a_n - 3|<\varepsilon$ sempre que $n\ge N$.
A igualdade indica que a série infinita tem soma igual a 3, isto é, a sequência dos somatórios parciais $S_N=\sum_{n=1}^N a_n$ converge para 3 quando $N$ tende a infinito.
A igualdade
Resposta
(a) Sequência convergente é aquela cujos termos $a_n$ tendem a um limite finito L, ou seja, $\lim_{n\to\infty}a_n=L$.
(b) Série convergente é aquela cuja sequência de somas parciais $S_N=\sum_{n=1}^N a_n$ converge para um valor finito S, ou seja, $\lim_{N\to\infty}S_N=S$.
© $\lim_{n\to\infty}a_n=3$ significa que, conforme n cresce, os termos $a_n$ se aproximam arbitrariamente de 3.
(d) significa que a soma infinita dos $a_n$ é 3, isto é, as somas parciais convergem para 3.
(b) Série convergente é aquela cuja sequência de somas parciais $S_N=\sum_{n=1}^N a_n$ converge para um valor finito S, ou seja, $\lim_{N\to\infty}S_N=S$.
© $\lim_{n\to\infty}a_n=3$ significa que, conforme n cresce, os termos $a_n$ se aproximam arbitrariamente de 3.
(d)