Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=e^x^2

Passo 1

O exercício pede para representar a função f(x)=e^x^2 por uma série de potências e determinar seu intervalo de convergência. O conteúdo envolvido é série de Taylor (ou Maclaurin) e teste de convergência de série de potências.

Passo 2

Sabemos que a série de Maclaurin para e^u é dada por
e^u = sumn=0^infty u^nn!
para qualquer u.

Passo 3

Substituímos u=x^2 na série de e^u. Assim,
e^x^2 = sumn=0^infty (x^2)^nn! = sumn=0^infty x^2nn!

Passo 4

Percebemos que essa é uma série de potências centrada em zero, onde os coeficientes ak são zero para índices ímpares e a2n=1/n!.

Passo 5

Para determinar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão. Seja bn=x^2nn!. Calculamos
L=limntoinfty |bn+1bn| = limntoinfty |x|^2(n+1)/(n+1)!|x|^2n/n! = limntoinfty x^2n+1 = 0
Como L=0<1 para todo x, a série converge para todo xinR.

Resposta

A representação em série de potências é f(x)=sumn=0^inftyx^2nn! e o intervalo de convergência é ( -infty,infty).

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