Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
O exercício pede para representar a função por uma série de potências e determinar seu intervalo de convergência. O conteúdo envolvido é série de Taylor (ou Maclaurin) e teste de convergência de série de potências.
Passo 2
Sabemos que a série de Maclaurin para é dada por
para qualquer .
Passo 3
Substituímos na série de . Assim,
Passo 4
Percebemos que essa é uma série de potências centrada em zero, onde os coeficientes são zero para índices ímpares e .
Passo 5
Para determinar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão. Seja . Calculamos
Como L=0<1 para todo x, a série converge para todo xinR.
Resposta
A representação em série de potências é f(x)=sumn=0^inftyx^2nn! e o intervalo de convergência é ( -infty,infty).