Calcule u(t) cdot v(t), onde u(t)=sen t i+cos t j+t k e v(t)=sen t i+cos t j+k.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar entre dois campos vetoriais em função de t, ou seja, dado vec u(t) e vec v(t), a gente vai achar vec u(t) cdot vec v(t). O conteúdo aqui é produto escalar de vetores em R^3 e vamos precisar da definição que faz o somatório componente a componente.

Passo 2

Sejam vec u(t) = (u1,u2,u3) e vec v(t) = (v1,v2,v3). A definição de produto escalar é
vec u(t) cdot vec v(t) = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

Passo 3

No nosso caso, identificamos
u1 = sin t, u2 = cos t, u3 = t,
v1 = sin t, v2 = cos t, v3 = 1
Substituindo na fórmula:
$$\vec u(t) \cdot \vec v(t) = (\sin t)(\sin t) + (\cos t)(\cos t) + (t)(1).
$$

Passo 4

Usando a identidade trigonométrica sin^2 t + cos^2 t = 1, simplificamos
$$\vec u(t) \cdot \vec v(t) = 1 + t.
$$

Resposta

1 + t

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