Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Nesse exercício, queremos encontrar a série de potências de f(x)=cos(x²) em torno de x=0 (ou série de Maclaurin) e também determinar para quais valores de x essa série converge. Vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor para funções usuais e depois aplicar teste de convergência.
Passo 2
A série de Maclaurin da função cos(u) é bem conhecida e dada por:
Aqui, u é uma variável genérica.
Passo 3
Agora basta fazer a substituição u=x² nessa série. Assim temos:
Passo 4
Para determinar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão nos coeficientes a_n=(-1)^n x^{4n}/(2n)!:
Como o limite da razão é 0 para todo x, a série converge para qualquer x real.
Passo 5
Concluímos que a série de potências obtida é válida em todo o eixo real, isto é, o intervalo de convergência é (−∞,∞).
Resposta
A série de potências de f(x)=cos(x²) é
o intervalo de convergência é (−∞,∞).