Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=cos (x^2)

Passo 1

Nesse exercício, queremos encontrar a série de potências de f(x)=cos(x²) em torno de x=0 (ou série de Maclaurin) e também determinar para quais valores de x essa série converge. Vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor para funções usuais e depois aplicar teste de convergência.

Passo 2

A série de Maclaurin da função cos(u) é bem conhecida e dada por:
cos(u)=sumn=0^infty(-1)^nu^2n(2n)!
Aqui, u é uma variável genérica.

Passo 3

Agora basta fazer a substituição u=x² nessa série. Assim temos:
cos(x^2)=sumn=0^infty(-1)^n(x^2)^2n(2n)!=sumn=0^infty(-1)^nx^4n(2n)!

Passo 4

Para determinar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão nos coeficientes a_n=(-1)^n x^{4n}/(2n)!:
|an+1an|=|(-1)^n+1x^4(n+1)/(2n+2)!(-1)^n x^4n/(2n)!|=|x|^4(2n+2)(2n+1)to0( ntoinfty )
Como o limite da razão é 0 para todo x, a série converge para qualquer x real.

Passo 5

Concluímos que a série de potências obtida é válida em todo o eixo real, isto é, o intervalo de convergência é (−∞,∞).

Resposta

A série de potências de f(x)=cos(x²) é
sumn=0^infty(-1)^nx^4n(2n)!
o intervalo de convergência é (−∞,∞).

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