Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Neste exercício, temos uma função definida por partes:
O conteúdo é esboço de gráfico de função quadrática e função afim, e vamos precisar saber como desenhar cada ramo e tratar o ponto de transição em x=3.
Passo 2
Para x\le3, o ramo é uma parábola dada por
Esta parábola tem vértice em (2,0), concavidade para cima, e alguns pontos-chave são:
- em x=1: y=(1-2)^2=1;
- em x=2: y=0;
- em x=3: y=(3-2)^2=1.
Como o ramo vale para x≤3, o ponto (3,1) é incluído (círculo fechado).
Passo 3
Para x>3, o ramo é a reta
É uma reta com coeficiente angular –2 e intercepto em y=10. Pontos importantes:
- em x=3: y=10-2·3=4, mas como x>3, esse ponto é marcado com círculo aberto;
- em x=4: y=10-2·4=2;
- em x=5: y=0.
Passo 4
Agora avaliamos a continuidade em x=3:
- Limite pelo ramo quadrático em x→3⁻ é 1;
- Limite pelo ramo linear em x→3⁺ é 4;
- f(3)=1 (pelo ramo x≤3).
Logo há um salto de 1 para 4 em x=3.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, combine os dois ramos:
- Desenhe a parábola y=(x-2)^2 para x≤3, marcando o ponto fechado em (3,1).
- Desenhe a reta y=10-2x para x>3, marcando o ponto aberto em (3,4).
- Indique a parábola até x=3 e a reta a partir de x=3, observando o salto.
Passo 6
Pronto, o esboço mostra a parábola até x=3 e a reta após x=3, com os pontos de transição corretamente indicados.
Resposta
O gráfico consiste em:
– Para x≤3: a parábola y=(x-2)², com vértice em (2,0) e ponto fechado em (3,1).
– Para x>3: a reta y=10−2x, com ponto aberto em (3,4).
Note o salto de valor de 1 para 4 em x=3.