Esboce o gráfico das seguintes funções:
10-2 x, & se x>3 (x-2)^2, & se x <= 3

Passo 1

Neste exercício, temos uma função definida por partes:
f(x)= 10-2x, & se x>3,(x-2)^2,&se x<=3
O conteúdo é esboço de gráfico de função quadrática e função afim, e vamos precisar saber como desenhar cada ramo e tratar o ponto de transição em x=3.

Passo 2

Para x\le3, o ramo é uma parábola dada por
y=(x-2)^2
Esta parábola tem vértice em (2,0), concavidade para cima, e alguns pontos-chave são:
  • em x=1: y=(1-2)^2=1;
  • em x=2: y=0;
  • em x=3: y=(3-2)^2=1.
Como o ramo vale para x≤3, o ponto (3,1) é incluído (círculo fechado).

Passo 3

Para x>3, o ramo é a reta
y=10-2x
É uma reta com coeficiente angular –2 e intercepto em y=10. Pontos importantes:
  • em x=3: y=10-2·3=4, mas como x>3, esse ponto é marcado com círculo aberto;
  • em x=4: y=10-2·4=2;
  • em x=5: y=0.

Passo 4

Agora avaliamos a continuidade em x=3:
  • Limite pelo ramo quadrático em x→3⁻ é 1;
  • Limite pelo ramo linear em x→3⁺ é 4;
  • f(3)=1 (pelo ramo x≤3).
Logo há um salto de 1 para 4 em x=3.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, combine os dois ramos:
  • Desenhe a parábola y=(x-2)^2 para x≤3, marcando o ponto fechado em (3,1).
  • Desenhe a reta y=10-2x para x>3, marcando o ponto aberto em (3,4).
  • Indique a parábola até x=3 e a reta a partir de x=3, observando o salto.

Passo 6

Pronto, o esboço mostra a parábola até x=3 e a reta após x=3, com os pontos de transição corretamente indicados.

Resposta

O gráfico consiste em:
– Para x≤3: a parábola y=(x-2)², com vértice em (2,0) e ponto fechado em (3,1).
– Para x>3: a reta y=10−2x, com ponto aberto em (3,4).
Note o salto de valor de 1 para 4 em x=3.

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