Encontre uma representação em serie de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f
Passo 1
O enunciado pede uma representação em série de potências para
e o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar expansão em série de potências de
para
e depois integrar termo a termo, verificando o raio e o intervalo de convergência.
Passo 2
Lembrando a expansão conhecida, para
:
Logo
Assim,
Note que o termo
da soma é exatamente
, então há cancelamento, restando
Fazendo
, obtemos
Passo 3
Integramos termo a termo (válido para
):
Como
, resulta
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Escrevendo de forma final,
Passo 5
O raio de convergência da série original de
é
. Portanto a série acima converge para
. Nos pontos
temos séries alternantes de termos
, que convergem condicionalmente.
Resposta
A série de potências é
com intervalo de convergência
(e convergência condicional em
).