Encontre uma representação em serie de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=\int \frac{x-\arctan x}{x^{3}} d x f (x)=\int \frac{x-\arctan x}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede uma representação em série de potências para
f(x)=\int \frac{x-\arctan x}{x^{3}}\,dx
e o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar expansão em série de potências de \arctan x para \lvert x\rvert<1 e depois integrar termo a termo, verificando o raio e o intervalo de convergência.

Passo 2

Lembrando a expansão conhecida, para \lvert x\rvert<1:
\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
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\frac{\arctan x}{x^{3}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\,\frac{1}{x^{3}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{2n-2}}{2n+1}.
Assim,
\frac{x-\arctan x}{x^{3}} =\frac{x}{x^{3}}-\frac{\arctan x}{x^{3}} =x^{-2}-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{2n-2}}{2n+1}.
Note que o termo n=0 da soma é exatamente x^{-2}, então há cancelamento, restando
\frac{x-\arctan x}{x^{3}} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{x^{2n-2}}{2n+1}.
Fazendo k=n-1, obtemos
\frac{x-\arctan x}{x^{3}} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{x^{2k}}{2k+3}.

Passo 3

Integramos termo a termo (válido para \lvert x\rvert<1):
f(x) =\int\frac{x-\arctan x}{x^{3}}\,dx =\int\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{x^{2k}}{2k+3}\,dx =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{1}{2k+3}\,\int x^{2k}\,dx.
Como \int x^{2k}\,dx=\dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}, resulta
f(x) =C+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)(2k+3)},
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Escrevendo de forma final,
\boxed{% f(x)=C+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)(2k+3)}% }.

Passo 5

O raio de convergência da série original de \arctan x é R=1. Portanto a série acima converge para \lvert x\rvert<1. Nos pontos x=\pm1 temos séries alternantes de termos \sim1/k^{2}, que convergem condicionalmente.

Resposta

A série de potências é
f(x)=C+\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)(2k+3)},
com intervalo de convergência \lvert x\rvert<1 (e convergência condicional em x=\pm1).

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