Encontre uma representaçảo em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências de
. O conteúdo envolve reescrever essa função como uma série geométrica e determinar seu raio (e intervalo) de convergência. Vamos precisar usar a fórmula da série geométrica
Passo 2
Para usar a série geométrica, note que
ou seja, na fórmula com
:
válido quando
, isto é,
.
Passo 3
Multiplicamos agora por
para recuperar
:
Passo 4
Reescrevemos a soma trocando o índice
, logo
vai de
a
e
:
Passo 5
Para o intervalo de convergência usamos
. Nos pontos extremos
e
a série
não converge no sentido usual (em
dá a série alternada
e em
dá
).
Resposta
com intervalo de convergência
.