Encontre uma representaçảo em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{x}{1+x}

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de f(x)=\frac{x}{1+x}. O conteúdo envolve reescrever essa função como uma série geométrica e determinar seu raio (e intervalo) de convergência. Vamos precisar usar a fórmula da série geométrica
\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n,\quad |t|<1.

Passo 2

Para usar a série geométrica, note que
\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)},
ou seja, na fórmula com t=-x:
\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n,
válido quando |-x|<1, isto é, |x|<1.

Passo 3

Multiplicamos agora por x para recuperar f(x):
f(x)=\frac{x}{1+x} = x\cdot\frac{1}{1+x} = x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{n+1}.

Passo 4

Reescrevemos a soma trocando o índice n+1=k, logo k vai de 1 a \infty e (-1)^n = (-1)^{k-1}:
f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}x^k.

Passo 5

Para o intervalo de convergência usamos |x|<1. Nos pontos extremos x=1 e x=-1 a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}x^k
não converge no sentido usual (em x=1 dá a série alternada 1-1+1-\dots e em x=-1 -1-1-1-\dots).

Resposta

f(x)=\frac{x}{1+x}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^n,
com intervalo de convergência \lvert x\rvert<1.

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