Encontre uma representaçảo em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para representar
como uma série de potências centrada em zero e determinar seu intervalo de convergência. O truque é reconhecer que temos uma forma de série geométrica, cujo caso básico é
Passo 2
Reescrevendo
em função de uma única fração geométrica, temos
Aqui
. Para usar a expansão geométrica, basta substituir
por
.
Passo 3
Aplicando diretamente
com
, obtemos
Passo 4
Para achar o intervalo de convergência usamos a condição do geométrico:
Logo a série converge para
.
Passo 5
Nos extremos
, o termo geral fica
e a soma
diverge. Portanto, os extremos não pertencem ao intervalo de convergência.
Resposta
A representação em série de potências é
com intervalo de convergência