Encontre uma representaçảo em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{5}{1-4 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para representar
f(x)=\frac{5}{1-4x^{2}}
como uma série de potências centrada em zero e determinar seu intervalo de convergência. O truque é reconhecer que temos uma forma de série geométrica, cujo caso básico é
\frac{1}{1 - z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n,\quad |z|<1.

Passo 2

Reescrevendo f(x) em função de uma única fração geométrica, temos
f(x) =5\;\frac{1}{1 - 4x^{2}} =5\;\frac{1}{1 - \bigl(4x^{2}\bigr)}.
Aqui z = 4x^{2}. Para usar a expansão geométrica, basta substituir z por 4x^{2}.

Passo 3

Aplicando diretamente
\frac{1}{1 - z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n,
com z=4x^{2}, obtemos
f(x) =5 \sum_{n=0}^{\infty} \bigl(4x^{2}\bigr)^{n} =5 \sum_{n=0}^{\infty}4^{n}x^{2n} =\sum_{n=0}^{\infty}5\cdot4^{n}\,x^{2n}.

Passo 4

Para achar o intervalo de convergência usamos a condição do geométrico:
|4x^{2}|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x^{2}|<\tfrac14 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\tfrac12.
Logo a série converge para |x|<\tfrac12.

Passo 5

Nos extremos x=\pm\tfrac12, o termo geral fica
5\cdot4^{n}\bigl(\pm\tfrac12\bigr)^{2n} =5\cdot4^{n}\,\frac{1}{2^{2n}} =5\cdot1^{n}=5,
e a soma \sum5 diverge. Portanto, os extremos não pertencem ao intervalo de convergência.

Resposta

A representação em série de potências é
\boxed{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}5\cdot4^{n}\,x^{2n},}
com intervalo de convergência
\boxed{(-\tfrac12,\tfrac12).}

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