Encontre uma representaçảo em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede uma representação em série de potências de
f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}
e seu intervalo de convergência. Para isso vamos usar a série geométrica padrão e depois aplicar o teste da razão (ou simplesmente a condição |r|<1).

Passo 2

Lembrando que, para todo u com |u|<1, vale a expansão da série geométrica
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n}.
Aqui basta identificar u=x^{2}, pois \frac{1}{1-x^{2}}=\frac{1}{1-u}.

Passo 3

Substituindo u=x^{2} na fórmula da série geométrica, obtemos
f(x)=\frac{1}{1-x^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(x^{2})^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}.

Passo 4

Para que essa expansão convirja precisamos de
|u|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x^{2}|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<1.
Nos extremos x=1 e x=-1 a série vira \sum1, que diverge. Portanto o intervalo de convergência é
(-1,1).

Resposta

\frac{1}{1-x^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}, \quad |x|<1.

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