Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
10. f(x)=tg^-1(2 x)

Passo 1

O enunciado pede a série de potências (Maclaurin) de
f(x)=tan^-1(2x)
e o seu raio de convergência. Para isso vamos usar duas ideias principais: a expansão em série geométrica de tfrac11+u e integração termo a termo para recuperar tan^-1(2x) a partir de sua derivada.

Passo 2

Calculemos a derivada de f:
f'(x)=ddxl[tan^-1(2x)r] =21+(2x)^2 =21+4x^2
Agora note que, para |4x^2|<1, podemos escrever
11+4x^2 =sumn=0^infty(-1)^n(4x^2)^n =sumn=0^infty(-1)^n4^nx^2n
Multiplicando por 2 obtemos
f'(x) =2sumn=0^infty(-1)^n4^nx^2n =sumn=0^infty(-1)^n2^2n+1x^2n

Passo 3

Integrando termo a termo de 0 a x, e usando tan^-1(0)=0, vem
f(x) =integral0^xf'(t),dt =sumn=0^infty(-1)^n2^2n+1integral0^xt^2n,dt =sumn=0^infty(-1)^n2^2n+12n+1,x^2n+1

Passo 4

O raio de convergência vem da condição |4x^2|<1, i.e.
|x|<12
Integração não altera o raio, logo R=tfrac12.

Resposta

tan^-1(2x) =sumn=0^infty(-1)^n2^2n+12n+1,x^2n+1, R=12

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