Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.
10.
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Passo 1
O enunciado pede a série de potências (Maclaurin) de
e o seu raio de convergência. Para isso vamos usar duas ideias principais: a expansão em série geométrica de
e integração termo a termo para recuperar
a partir de sua derivada.
Passo 2
Calculemos a derivada de
:
Agora note que, para
, podemos escrever
Multiplicando por 2 obtemos
Passo 3
Integrando termo a termo de
a
, e usando
, vem
Passo 4
O raio de convergência vem da condição
, i.e.
Integração não altera o raio, logo
.